Örtük bir işlevin monotonluğunu kanıtlamak
Beta fonksiyonunun özelliğini inceliyordum ve şu eşitlikle karşılaştım:
$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha-1}\frac{1}{1+e^{(2\lambda-1)k}}\text{d}\lambda = \text{B}(\alpha+1,\alpha+1), $$
nerede $\text{B}$ Beta işlevi anlamına gelir.
Bunu her biri için gösterebilirim $\alpha>0$benzersiz bir $k \in (0,\infty)$Yukarıdaki eşitlik geçerlidir. Beni ilgilendiren şey, grafiğini çizdiğimde$k$ açısından $\alpha$ Wolfram'da ortaya çıkıyor $k$ aslında kesinlikle azalan bir işlevdir. $\alpha$.
Yukarıdaki iddiayı kanıtlayamadım, ancak bazı sezgilerim var. Parçalara göre entegrasyon, yukarıdaki eşitliğin aşağıdakilere eşdeğer olduğunu verir:
$$ \int_{0}^1 \lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}[\frac{2k}{2+e^{(2\lambda-1)k}+e^{(1-2\lambda)k}}-1]\text{d}\lambda = 0. $$
Öyleyse ne zaman $\alpha$ büyük, terim $\lambda^{\alpha}(1-\lambda)^{\alpha}$ hakim olur $\lambda=1/2$. Bu nedenle,$2k/4$ yakın kalmalı $1$yanı sıra. Ne zaman$\alpha$ küçük $k$ şundan önemli ölçüde daha büyük olmalıdır $2$ kısmını telafi etmek için $\lambda$ uzak dur $1/2$.
Herhangi bir ipucu / öneri çoğunlukla takdir edilmektedir.
Yanıtlar
İzin Vermek $R\left(a,k\right)=\int_{0}^{1}\lambda^{a}\left(1-\lambda\right)^{a-1}\frac{1}{1+e^{\left(2\lambda-1\right)k}}-\text{Beta}\left(a+1,a+1\right)$. By Örtülü Fonksiyonu Teoremi uygulanan$R\left(a,k\right)=0$ sahibiz
$\frac{dk}{da}=-\frac{\frac{\partial R}{\partial a}}{\frac{\partial R}{\partial k}}<0$
Çünkü $\frac{\partial R}{\partial a}<0$ ve $\frac{\partial R}{\partial k}<0$. Anlaşılırsa bana haber ver.