Paydada üstel ve polinomlu integral

Question

Üzerinde çalışıyorum \begin{align} \int_0^\infty\frac{1}{x(x+1)(x+2)(x+4)-x(x+1)e^{x-0.5x^2}} dx. \end{align}

Paydayı basitleştirmek için uğraşıyorum. İntegrale nasıl devam edebileceğime dair bir önerisi olan var mı?

---

Kısmi kesirler gibi bir şey denedim. İzin Vermek$\mathcal{P}(x)=(x+2)(x+4)$ ve $\mathcal{E}(x)=e^{x-0.5x^2}$. Sonra,$$\frac{1}{x(x+1)(\mathcal{P}(x)-\mathcal{E}(x))}=\frac{1}{x(x+1)}-\frac{\mathcal{P}(x)-\mathcal{E}(x)-1}{x(x+1)(\mathcal{P}(x)-\mathcal{E}(x))}$$ ve ilk dönem artık kolay ama nasıl devam edeceğimi yine bilmiyorum.

---

@ Henry Lee'nin üssü tek bir ikinci dereceden terime değiştiren bir ikame yapma önerisi için minnettarım. $e^{-0.5x^2}$, Gauss çan eğrisinde göründüğü gibi. Ancak bu, diğer hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirmeme yardımcı olmadı.

Answer 1

bu tam bir cevap değil, birkaç öneri: $$I=\int\frac{dx}{x(x+1)(x+2)(x+4)-x(x+1)e^{x-0.5x^2}}=\int\frac{1}{x(x+1)}\frac{dx}{(x+2)(x+4)-e^{x-0.5x^2}}$$ şimdi bunu görebiliriz: $$x-\frac{x^2}{2}=-\frac12\left(x^2-2x\right)=-\frac12\left[(x-1)^2-1\right]$$ bu yüzden potansiyel olarak bir ikame ile $u=x-1$ ile sonuçlanırız: $$I=\int\frac{1}{(u+1)(u+2)}\frac{du}{(u+4)(u+6)-e^{1/2}e^{-u^2/2}}$$