Pell denklemi hakkında soru.

Question

Soru. Farz et ki$x,y,x',y'$ pozitif tam sayılar tatmin edici $x^2-dy^2=\pm 1$ ve $(x')^2-d(y')^2=\pm 1$sırasıyla. Varsayım$x<x'$, kanıtla $y<y'$.

Nereden başlayacağından pek emin değilim. Öncelikle olumlu çözümü alarak,$(x+\sqrt{d}y)(x-\sqrt{d}y)=1$ böylece sahip olabiliriz $y=0$ ve $x=1$. Ama bunun nasıl yardımcı olacağını gerçekten bilmiyorum.

Devam etmenin herhangi bir ipucu veya yolu büyük ölçüde takdir edilecektir.

Answer 1

Var

$$x^2-dy^2=\pm 1 \tag{1}\label{eq1A}$$

$$(x')^2-d(y')^2=\pm 1 \tag{2}\label{eq2A}$$

Eğer $d \lt 0$, yalnızca pozitif tam sayılarda çözüm yoktur ve eğer $d = 0$, o zaman her iki sağ taraf da $1$ ile $x = x' = 1$buna da izin verilmez. Böylece,$d \gt 0$.

Sonra, mutlaka doğru tarafı varsaymak gerekmez $\pm 1$ değerler aynıdır $2$ denklemler, \ eqref {eq2A} eksi \ eqref {eq1A} verir

$$((x')^2 - x^2) - d((y')^2 - y^2) = z \tag{3}\label{eq3A}$$

nerede $z \in \{-2, 0, 2\}$, yani $z \le 2$. Dan beri$x \ge 1$, ve $x' \gt x \implies x' \ge x + 1$sen anladın $(x')^2 - x^2 \ge (x + 1)^2 - x^2 = 2x + 1 \ge 3$. Böylece,$- d((y')^2 - y^2) \le -1 \implies d((y')^2 - y^2) \ge 1$ dan beri $d \gt 0$sende de var $(y')^2 - y^2 \gt 0 \implies y' \gt y$.

Answer 2

Hm ... bunu kanıtlamak önemsiz değil mi?

Birincisi, bunu görmek kolaydır $d$ olumlu.

İkincisi, doğrudan ifade edebilirsiniz $y$ ve $y'$işlevi olarak
(aynı işlev)$x$ ve $x'$ sırasıyla.

$$y = \sqrt{\frac{x^2-1}{d}}$$
$$y' = \sqrt{\frac{x'^2-1}{d}}$$

Ve sonra bu işlevden beri

$$f(t) = \sqrt{\frac{t^2-1}{d}}$$

artıyor ve $x \lt x'$senin ifaden $y \lt y'$ açıkça doğrudur.