Pozitif tanımlı tanım

Question

Notlara bakıyorum http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~s.settepanella/teachingfile/Calculus/Calculus1/pagine/lecture8.pdf.

Aşağıdakilerin bir simetrik için eşdeğer olduğunu söylüyor $H$:

(1) $H$ pozitif tanımlıdır.

(2) $x^THx > 0$

(3) $\lambda_i(H) > 0$

(4) $\det(H) > 0$ ! ??????

(5) Çapraz girişler $H_{ii}$ olumlu mu? ?????

(4) ve (5) ait görünmüyor. (4) için gerekli bir koşuldur$H$pozitif tanımlı, ancak yeterli değil. Bir düşünün$2 \times 2$2 negatif özdeğerli matris. Matris pozitif tanımlı değildir, ancak pozitif bir belirleyiciye sahiptir. Köşegen matristen bahsetmediğimiz sürece daha önce (5) 'i hiç duymadım. Bu da yanlış değil mi?

Answer 1

(4) yanlıştır. Bir karşı örnek için düşünün$H = -I$ nerede $I$ ... $2\times 2$kimlik matrisi. Sonra herhangi bir sıfır olmayan için$x$, sahibiz $x^T H x = -x^T x < 0$, yani $H$ pozitif tanımlı değil.

(5) da yanlıştır. Düşünmek$H = \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$belirleyici olan $-3$. Bu, özdeğerlerinden birinin negatif olduğu anlamına gelir; özellikle,$\lambda = -1$ örneğin özvektörlü bir özdeğerdir $x = \displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}$. Sonra$x^T H x = x^T(Hx) = x^T(\lambda x) = -x^T x < 0$, yani $H$ pozitif tanımlı değil.