Problem sıradan diferansiyel denklem

Question

Sıradan diferansiyel denklemi düşünün $y^{\prime}=y(y-1)(y-2)$

Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

(a) Eğer $y(0)=0.5$ sonra $y$ azalıyor

(b) Eğer $y(0)=1.2$ sonra $y$ yükseliyor

(c) Eğer $y(0)=2.5$ sonra $y$ sınırsız

(d) Eğer $y(0)<0$ sonra $y$ aşağıda sınırlanmıştır

Değişken ayrımı kullanarak çözerim ve örtük ilişki elde ederim

$\frac{ y(y-1)}{(y-2)^2}= A e^ {2x} $

Şimdi bu koşulu uygulamak ve değerini bulmak çok zorlaşıyor $A$ ve seçeneği kontrol et

Bu tür soruları çözmenin kolay bir yöntemi var mı?

Answer 1

Diferansiyel denklemi gerçekten çözmenize gerek yoktur - çözümün davranışını aşağıdaki davranışa bakarak tahmin edebilirsiniz. $y’$ verilen başlangıç ​​koşulları için.

Örneğin, aşağıdakilere ilişkin ilk iki ifadeyi düşünün: $y’$ verilen değerler için artıyor veya azalıyor $y$. Basitçe belirtilen$y$ için ifadeye değer $y’$ olumlu mu yoksa olumsuz mu olduğunu belirler ve bu size $y$ artıyor veya azalıyor.

Son iki durum için süreç biraz daha inceliklidir; başlangıçtaki bölgeleri not edebilmeniz gerekir. $y$nerede $y$ monoton olarak artmaya veya azalmaya devam edecek ve bu bilgiyi hangi davranışın doğru veya yanlış olduğunu belirlemek için kullanacaktır.