Rarefaction ile Burger Denklemi

Question

Sorun. Varsayalım ki bizde

$$u_t + uu_x = 0, ~~~~~~~~u(x,0) = \begin{cases} x + 1, & x < 0, \\ x + 2, & x > 0. \end{cases} $$

Elimde ne var: Başlamak için karakteristik yöntemle olağan çözüme sahibiz:$u(x,t) = \phi(x - ut)$ve özellikler

$$ x = \phi(r)t + r, ~~~~~~~~z = \phi(r).$$

İlk verileri kullanarak aşağıdaki örtük çözümü elde ederiz $$ u(x,t) = \begin{cases} \frac{x + 1}{1 + t}, &x < t \tag{1} \\ \frac{x + 2}{1 + t}, &x > 2t. \end{cases} $$

Parametrelendirmemizi kullanarak özellikleri daha kolay çizebiliriz. $r$ öyle ki $$x(t,r) = \begin{cases} (r + 1)t + r, &r < 0 \\ (r + 2)t + r, &r > 0, \\ \end{cases} $$

Dolayısıyla, orijinden (0,0) benzeyen özelliklerin olmadığı bir bölgemiz var.

Bunlar için, rarefaction çözümünün şu şekilde verildiğini hatırlıyorum: $u(x,t) = f\left(\frac{x-r}{t}\right)$, bazı $f$. Dolayısıyla bizde$$\begin{align} u_t &= f'\left(\frac{x - r}{t}\right)\left(\frac{r - x}{t^2}\right) \\ u_x &= f'\left(\frac{x - r}{t}\right)\left(\frac{1}{t}\right), \end{align} $$

ve biraz bulmalıyız $f$ bu tatmin edici $$ f'\left(\frac{x - r}{t}\right)\left(\frac{r - x}{t^2}\right) + f\left(\frac{x-r}{t}\right)f'\left(\frac{x - r}{t}\right)\left(\frac{1}{t}\right) = 0. \tag{2}$$

Yani, $f\left(\frac{x-r}{t}\right) = \frac{x - r}{t}$, ve $(2)$ memnun.

Yine de buradan nasıl ilerleyeceğimi bilmiyorum?

Answer 1

Bu Cauchy başlangıç ​​değeri problemi, parçalı doğrusal ilk verilere sahiptir ve şu anda bir atlama süreksizliği vardır. $x=0$. İlk veriler parça parça sabit olmadığı için bu bir Riemann problemi değildir. Özellikler yöntemi örtük denklemi verir$u = \phi(x-ut)$ ile $\phi = u(\cdot,0)$. Böylece, \ {denklem} u = \ left \ lbrace\begin{aligned} &x-ut+1, \quad x-ut<0 \\ &x-ut+2, \quad x-ut>0 \end{aligned}\right. \quad = \quad\left\lbrace\begin{aligned} &\tfrac{x+1}{1+t}, \quad x<t ,\\ &\tfrac{x+2}{1+t}, \quad x>2t . \end{aligned}\sağ. \ end {equation} Dolayısıyla, aralarında karakteristik eğri yoktur.$x=t$ ve $x=2t$. Veriler$x>2t$ verilerden daha hızlı hareket ediyor $x<t$. Başlangıçta başlayan bir seyrekleşme dalgası$(x,t) = (0,0)$bu çizgiler arasında üretilir. Şekli tarafından yönetilir$u = x/t$ve \ başlıyor {denklem} u (x, t) = \ left \ lbrace\begin{aligned} &\tfrac{x+1}{1+t}, && x<t ,\\ &\tfrac{x}{t} , && t<x<2t , \\ &\tfrac{x+2}{1+t}, && x>2t . \end{aligned}\sağ. \ end {equation} Çözümün pozitif zamanlar için sürekli olduğuna dikkat edin$t>0$.