Ricci akış simetri paradoksu

Question

By bu yararlı tartışma ı sonlu sürede Ricci Akış manifoldu simetrisini değişmez biliyoruz; yani$$\def\isom{\operatorname{Isom}}\isom(g_0)=\isom(g_t),\qquad \forall t\in[0,T].$$

Aşil paradoksu ( tam olarak değil) gibi bir şeyi tartışıyorum : (Varsayalım$M$ yakın (kompakt ve sınırsız) ve RF sırasında tekilliğe sahip değil.)

RF simetriyi korur $\forall t\in[0,T]$. Şimdi daha ileri gidelim, RF simetriyi koruyor$\forall t\in[T,2T]$ Yani şu iddia edilebilir: RF simetriyi korur $\forall t\in[kT,(k+1)T]$sonuç olarak $$\isom(g_0)=\isom(g_t),\qquad \forall t\in[0,(k+1)T].$$ ve keyfi için $k$. Bu nedenle " Çirkin bir küre RF kullanılarak yuvarlanamaz. "$k\to \infty$.

Soru: Bu paradoksun yanlışlığı nedir? Sanırım paradoks noktası$k\to \infty$.

Answer 1

Bu doğru olsa da $g_t$ herhangi biri için aynı izometri grubuna sahiptir $t\in[0,\infty)$normalleştirilmiş limitin $\lim_{t\to\infty}g_t$aynı izometri grubuna sahiptir. Daha basit bir benzetme olarak, işlevler ailesini düşünün$f_t(x)=e^{-t}f_0(x)$. $f_t$ herhangi biri için çeviri değişmez olmayabilir $t$, fakat $\lim_{t\to\infty}f_t$dır-dir. Önceki ifadeler, bu sınırın izometrileri hakkında söylenecek hiçbir şeye izin vermez, çünkü izometri grupları metriğe "sürekli" bağlı değildir.

İzometri gruplarının tartışmasının esasen söylediği şey, "çirkin" bir uzayın "özelliklerinin" sonlu zamanda kaybolmadığını, ancak yakınsama sonuçları, bu özelliklerin uygun bir anlamda "keyfi olarak küçük" hale geldiğini söylüyor. Özelliklerden tamamen kurtulmak ve böylece yeni simetriler ortaya çıkarmak için bir sınır gereklidir.