Rolle teoremi ile ilgili bir problem

Question

Öyleyse şunu kanıtlamamızı isteyen bir soru var. $\tan x=1$ en az bir kökü var $\tan x =-1$. Varsayalım ki$a,b$ iki kökü $\tan x-1=0$, sonra $f(a)=f(b)=0$, nerede $f(x)= \tan x-1$. Teoremine göre,$f'(c)=0$ nerede $c \in (a,b)$yani $\sec^2 c =0$.... ve bu tanımlanmadı. Ya anlayışımda ya da problemde yanlış bir şeyler var. Lütfen yardım et.

Answer 1

İşlev $f(x)=\tan(x)-1$ her biri için sürekli değil $x\in[a,b]$, ($a,b$ ardışık kökler olmak $f$), bu nedenle Rolle Teoremi böyle bir aralıkta uygulanamaz.

Answer 2

İzin Vermek $f(x)=\tan x -1$, ve $g(x)=\tan x +1$.

Kökleri $f(x)$ aralıkta meydana gelir $I=[\frac{\pi}{4}+\pi k, \frac{\pi}{2}+\pi k)\bigcup (\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{5\pi}{4}+\pi k]$ bazı $k\in\mathbb{Z}$. Kökleri$f(x)$ aralığın uç noktalarında meydana gelir $I$.

Kökleri $g(x)$ aralıkta meydana gelir $J=[-\frac{\pi}{4}+\pi k, \frac{\pi}{2}+\pi k)\bigcup(\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{3\pi}{4}+\pi k]$ bazı $k\in\mathbb{Z}$. Kökleri$g(x)$ aralığın uç noktalarında meydana gelir $J$.

Aralık $(\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{3\pi}{4}+\pi k]$ içinde bulunur $[\frac{\pi}{4}+\pi k, \frac{\pi}{2}+\pi k)\bigcup (\frac{\pi}{2}+\pi k, \frac{5\pi}{4}+\pi k]$ ve bir kökü $g(x)$ meydana gelir $x=\frac{3\pi}{4}+\pi k$. Kökleri$f(x)$ meydana gelmek $x=\frac{\pi}{4}+\pi k$ ve $x=\frac{5\pi}{4}+\pi k$.

$\frac{\pi}{4}+\pi k<\frac{3\pi}{4}+\pi k<\frac{5\pi}{4}+\pi k $.

Yani en az bir kökü var $g(x)$ herhangi iki kökü arasında $f(x)$.