Sağ ters, ancak ve ancak üstündeyse

Question

Aşağıdaki sonucu ispatlamaya çalışıyorum.

Kanıtla $f: X \to Y$ancak ve ancak doğru bir tersi varsa üzerindedir. Ardından, bu tersin mutlaka benzersiz olmadığını kanıtlayın (yani,$f$ enjekte edici değildir).

İşte ortaya çıkardığım şey, özellikle de benzersiz olmadığına dair "kanıtım" çok katı değil.

Kanıt. Varsayalım$f: X \to Y$örten. İzin Vermek$y \in Y$yani var $x \in X$ öyle ki $f(x) = y$. Buna rağmen$x$ benzersiz olmayabilir, eşlemeyi tanımlarız $g: Y \to X$ kural gereği $g(y) = x$Seçim Aksiyomunu kullanarak. Böyle bir şey için$y$ özelliği ile $g(y) = x$, sahibiz: $$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y, $$ yani $f \circ g = i_Y$, ve $g$bir sağ tersidir. Tersine varsayalım$f$ doğru bir tersi vardır, $g: Y \to X$ özelliği ile $f \circ g = i_Y$. İzin Vermek$y \in Y$. Sonra$g(y) = x$ bazı $x \in X$. Sonra bunu gözlemliyoruz$$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = i_Y (y) = y $$ yani $f$örten. Bu sağ tersi benzersiz değildir çünkü tanımlamak için Seçim Aksiyomunu çağırmamız gerekir.$g(y) = x$ bazı $x$. Nerede olduğu durumda$f$ herhangi bir verildiği için enjekte edici değil $y \in Y $potansiyel olarak sonsuz sayıda $x$ öyle ki $f(x) = y$ve biz tanımlayabiliriz $g(y)$ Her biri eşit derecede geçerli bir sağ tersi veren x'lerden herhangi birine eşittir.

Bu kanıt nasıl görünüyor? Bu uygun bir seçim kullanımı mı? Benzersizliğin eksikliğinin kanıtını daha katı hale getirmenin bir yolu var mı?

Şimdiden teşekkürler.

Answer 1

Sadece ve sadece kanıt bana oldukça iyi görünüyorsa. Ancak benzersiz olmama kanıtınız biraz dayanıksız.

Benzersiz olmadığını kanıtlamak için, onu bir örnekle göstermek yeterlidir (ve neredeyse her zaman daha kolaydır). İstediğin örneği pişirebilirsin ama işte aklıma ilk gelen.

Farz et ki $X=\mathbb{R}^2$ ve $Y=\mathbb{R}$ ile $f:X\to Y$ olmak $f(x,y)=x$. Açıkçası bu işlev açıktır. Şimdi aşağıdaki haritayı tanımlayın$S_1:Y\to X$ tarafından $S_1(x)=(x,0)$. Seni buna ikna etmek çok uzun sürmemeli$f(S_1(x))=i_Y$.

Ek olarak harita $S_2:Y\to X$ tarafından tanımlandı $S_2(x)=(x,x)$ ayrıca verecek $S_2(f(x))=i_Y$. Fakat$S_1\neq S_2$ bu nedenle, istenen sonucu üreten ve aynı olmayan (ve dolayısıyla tersinin benzersiz olması gerekmeyen) iki işlev olduğunu gösterdik.