Şebeke $A\ \text{bounded from below}\iff A^*\ \text{surjective}$

Question

İzin Vermek $H$ bir Hilbert alanı olun, $A\in H'$ sınırlı bir operatör ve $A^*$ onun bitişik. $A$ varsa aşağıdan sınırlı denir $b>0$, öyle ki $b ||h||\le ||Ah||, \forall h\in H$. O halde bunu nasıl belirleyebilirim?$$A\ \text{bounded from below}\iff A^*\ \text{surjective}$$ Verilen ipucu, kapalı aralık teoremini kullanmaktır. $Ran(A)$ kapalı $Ran(A^*)$kapalı. Ancak kapalılık ile sürpektiviteyi nasıl bağlayacağımdan emin değilim. Herhangi bir yardım takdir edilecektir.

Answer 1

Aşağıdakileri yapabileceğinizi düşünüyorum: $A$ aşağıda sınırlanmıştır ve $H$ tamamlandı, sende var $Ran(A)$kapalı. Bunun anlamı$Ran(A)$ bir Hilbert uzayıdır.

Yine aşağıda sınırlandırılarak, $A_0\colon H\to Ran(A)$, kısıtlaması $A$kendi aralığı içinde, doğrusal bir izomorfizmdir (aynı zamanda çift yönlü). Bu yüzden sende var$A_0^* \colon Ran(A)' \to H'$ aynı zamanda doğrusal bir izomorfizmdir $Ran(A)' = Ran(A)$ içine $H'=H$.

Ve bunu kanıtlayabileceğini düşünüyorum $A_0^*$ bu sadece $A^*$ sınırlı $Ran(A)$. Bu nedenle,$A^*$, artık enjekte edici olmayabilir, ama kesinlikle sübjektiftir.

Diğer taraftan, benzer bir şey yapabileceğinizi düşünüyorum. Eğer$A^*$ örten sonra tanımlar $H_0\doteq \ker (A^*)^\perp $, bir Hilbert alanı olan ve $A^*_0\colon H_0\to H$doğrusal bir izomorfizm olan $A^*$ örten.

Sonra $(A_0^*)^*\colon H'\to H_0'$doğrusal bir izomorfizmdir (her zaman olduğu gibi iki sürekli), bu nedenle aşağıda sınırlandırılmıştır. Bir kez daha, o zamandan beri$H$ ve $H_0$ Hilbert uzaylarıdır, bunu takip eder $H'=H$ ve $H_0' = H_0\subset H$.

Ve bunu kanıtlayabileceğini düşünüyorum $(A^*_0)^*$ ile çakışır $A^{**} = A$. Ve bitirdiniz.