Serileri ve integralleri değiştirme

Question

Bir kuvvet serisi veya genel bir fonksiyon serisi verildiğinde, kısmi toplamların limitini ve bir Lebesgue integralini değiştirmek için Lebesgue veya monoton yakınsaklık teoremini kullanabileceğimi biliyorum. Ama genel olarak bir dizi verilir$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ hangisi birleşir ve tanımlanır $\int_0^\infty\sum_{n=0}^{\infty}a_n f_n(u)du$ ile $f_n(u)$integrallenebilir, entegrasyon ve seriyi ne zaman değiştirebileceğimi merak ediyordum. Özellikle Borel toplamı bağlamında, verilen$\int_0^\infty e^{-u} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_nu^n}{n!}du$Bunu nasıl gösterebilirim merak ediyordum. $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$yakınsarsa, integrali ve seriyi değiştirebilirim. (Bunu güç serisi için biliyorum$\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n$ iş yakınsama yarıçapı kullanılarak yapılabilir ve her zaman bir baskın bulabilirim)

Answer 1

Gerald Edgar'ın önerdiği gibi, Fubini - Tonelli teoremini kullanabiliriz. Tonelli teoremine göre,$$\int_0^\infty \sum_{n=0}^{\infty}\Big|e^{-u} \frac{a_nu^n}{n!}\Big|\,du =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{|a_n|}{n!}\int_0^\infty e^{-u} u^n\,du =\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|<\infty.$$ Yani, Fubini teoremi uygulanabilir, yani integral ve seriler birbirinin yerine geçebilir.