Silindir problemi üzerinde yüzey integrali
Genel bir silindirim var $x^2+y^2=a^2, 0≤z≤h$ olarak etiketlendi $G$. Dışa dönük bir normal vektörü vardır$\vec{n}$.
Aşağıdaki resimde görüldüğü gibi:
Şimdi bu integrali çözmem isteniyor $G$:
$$\iint\limits_{G}\vec{n}⋅\vec{n}ds$$
Not: Bu sorunu çözmenin en uygun yolunun, sadece 1'e eşit olan iç çarpım hesaplamasını yapmak olduğunu biliyorum. Buradan, yüzey alanının hesaplanmasına kolayca geçebilirim. $G$ eşittir $2\pi ah$.
Ve işte benim sorunum. Buna dikkat etmedim$\vec{n}⋅\vec{n}=1$bizim durumumuzda. Dümdüz ileri gittim ve fark ettim$\vec{n}=∇f(x,y,z)=(2x,2y,0)$. Sonra bilinen yüzey integrali denklemini kullandım:
$$\iint\limits_{S}f(x,y,z)ds=\iint\limits_{D}f(x,y,g(x,y))\sqrt{(z_x)^2+(z_y)^2+1} dA$$
Ve aşağıdaki integrali çözmeye çalıştım:
$$\iint\limits_{S}(2x,2y,0)⋅(2x,2y,0)ds=4\iint\limits_{S}x^2+y^2ds=4\iint\limits_{D}x^2+y^2dA=4\int_{θ=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{a}r^3drdθ$$
Burada yanlış cevap aldım. Sorun şu ki, değerine atıfta bulunulmaması$z$bu silindirin yüksekliğini sınırlar. Sanırım burada bir şeyi kaçırdım, çünkü çözme tarzım genel olarak bana mantıklı geliyor, ama eminim ki burada yükseklik kısıtlamasıyla başa çıkmanın iyi anlayamadığım doğru bir yolu var.
Yanıtlar
Küçük sorun şu ki $\vec n$normalleştirilmesi gerekiyor. Fakat daha büyük probleminiz, integrali yanlış yüzeyde hesaplıyor olmanızdır. Bütünleştiğinde$r$ itibaren $0$ -e $a$, ve $\theta$ itibaren $0$ -e $2\pi$ (değil $4\pi$), integrali yan tarafta değil silindirin alt kapağında hesaplıyorsunuz. Yani ilk sorunu çözmek,$$\vec n=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}(2x,2y,0)$$ O zaman integrand olacak $1$. İkinci konu için, birinci integral çevre boyunca,$dl$ itibaren $0$ -e $2\pi a$, ve $dz$ itibaren $0$ -e $h$
Sorunuzu cevaplamak için, yanlış bir şeyler var $\vec{n}=∇f(x,y,z)=(2x,2y,0)$. Bu doğru olsaydı, biz alırdık$\mid \mid \vec n \mid \mid =2a \neq 1$ Genel olarak.
Şahsen, silindirik koordinatlar kullanırım. Sahibiz$\mathbf r=r\mathbf u_r+z \mathbf u_z$ ve senin $\mathbf n$ sadece $\mathbf u_r$.