Simetrik matris operatörü

Question

İzin Vermek $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ öz değerleri olan simetrik bir matris olmak $\lambda_1\geq \lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_n$ ve tarafından verilen spektral ayrışma $$ A = PDP^{\top}, $$ nerede $D = \text{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n)$ ve $P$ ortogonaldir.

İzin Vermek $\mathcal{S}\subset\mathbb{R}$ öyle bir set olun $\lambda_i\in\mathcal{S}$ hepsi için $i$ve bazı işlevleri tanımlayın $f:\mathcal{S}\to\mathbb{R}$.

Matrisi tanımlıyoruz $f(A)$ gibi $$ f(A) = Pf(D)P^{\top}, $$ nerede $$ f(D) = \text{diag}(f(\lambda_1),...,f(\lambda_n)). $$

Dır-dir $f(A)$ iyi tanımlanmış mı?

Yani, spektral ayrışma $A = PDP^{\top}$ benzersiz değil çünkü olabilir $i,j$ st $\lambda_i=\lambda_j$, bu onu kışkırtır $P$ benzersiz değil.

Herhangi bir görüş takdir edilecektir!

Answer 1

İyi tanımlanmıştır. Sebep şu ki$f(D)$ bir polinom olarak ifade edilebilir $D$ (derecesi ve katsayıları bağlıdır $f$ ve $D$) yapan $f(A)$ bir polinom olarak ifade edilebilir $A$. Aslında, eğer$\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_m$bu farklı özdeğerler$A$ ve $g$ Lagrange interpolasyon polinomudur $$ g(x)=\sum_{i=1}^m\prod_{j\ne i}\frac{x-\mu_j}{\mu_i-\mu_j}f(\mu_i), $$ sonra $g(\mu_i)=f(\mu_i)$ her biri için $i$. (Köşe durumda$A=\mu I$biz tanımlıyoruz $g$ sabit polinom olarak $f(\mu)$.) Dolayısıyla $g(\lambda_i)=f(\lambda_i)$ her biri için $i$ (çünkü her biri $\lambda_i$ biraz $\mu_k$), $f(D)=g(D)$ ve $Pf(D)P^T=Pg(D)P^T=g(PDP^T)=g(A)$. Dan beri$g$sadece sırasız çoklu özdeğer kümesine bağlıdır$A$ ama açık değil $P$ veya emriyle $\lambda_i$köşegeninde $D$, ürün $Pf(D)P^T$ her zaman aynı değeri değerlendirir, yani $g(A)$, gerçekleştirilen spektral ayrıştırmadan bağımsız olarak.

Answer 2

Çünkü $P^\perp P=I$, $$ A^2 = (PDP^\perp)^2=PDP^{\perp}PDP^{\perp}=PD^2P^\perp \\ A^n = PD^nP,\;\;\; n=1,2,3,\cdots. $$ Tanımlamak $P^0=I$. O zaman eğer$p$ bir polinomdur, $$ p(A)=Pp(D)P^\perp. $$ Çapraz matris için $D$ çapraz ile $d_1,d_2,\cdots,d_N$, bu tanımı $p(D)$ köşegen matrisi diyagonal olarak verir $p(d_1),p(d_2),\cdots,p(d_N)$. Bu, bir polinomun matris ile standart değerlendirmesiyle tutarlıdır.$A$. Ve bunu görebilirsin$(pq)(A)=p(A)q(A)$ Örneğin.