Sınır özelliği kanıtlama

Question

Aşağıdaki özelliği kanıtlamak istiyorum:

İzin Vermek $(a_n),(b_n)$ diziler olmak $\mathbb{R}$, $a_n\to a $ ve $b_n\to b$

$(\exists\ n_0 \in\mathbb{N}\ \forall n \geq n_0: a_n \leq b_n)\Rightarrow a\leq b $varsayalım $a>b\ , \epsilon:=(a-b)/2 $

Bir noktada senaryom bundan bahsediyor $-(a_n-a)<\epsilon $ ve $b_n - b<\epsilon$

Birisi bana yukarıdaki adımın arkasındaki amacı açıklayabilir mi?

Şimdiden teşekkürler.

Answer 1

İlk sekansın yakınsaması koşuluyla, $a$ ve ikincisi $b$, o tutar $a\le b$.

Öyle varsayalım $a>b$. Bu nedenle$\varepsilon=(a-b)/2>0$ ve bulabiliriz $n_1\ge n_0$ öyle ki, için $n\ge n_1$, $$ |a_n-a|<\varepsilon,\qquad |b_n-b|<\varepsilon \tag{*} $$ Bu çevirir $$ -\varepsilon<a_n-a<\varepsilon,\qquad -\varepsilon<b_n-b<\varepsilon $$ İlk eşitsizlik çifti şu anlama gelir: $-(a_n-a)<\varepsilon$. Ayrıca izole edebilirsiniz$b_n-b<\varepsilon$ ve bir çelişki yaratır.

Öte yandan, daha basit bir şekilde (*) yazarım $$ a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon,\qquad b-\varepsilon<b_n<b+\varepsilon $$ ve bunu gözlemle $b+\varepsilon=(a+b)/2=a-\varepsilon$yani bu olur $$ \frac{3b-a}{2}<b_n<\frac{a+b}{2}<a_n<\frac{3a-b}{2} $$ ve merkezi eşitsizlikler çelişkiyi sağlar.