Sınırlar ve mutlak değerler değişmeli mi

Question

Bir ev ödevi probleminde limiti hesaplamam isteniyor:

$$\lim_{x\rightarrow 0}\left ( x\sin{\frac{1}{x}}\right )$$

Gelen bu soruya sıkın teoremi kullanımı kullanılmaktadır. Şu hususları belirtmektedir:

$$\lim_{x\rightarrow 0} \left| x\sin{\left( \frac{1}{x}\right )}\right | =0\Rightarrow\lim_{x\rightarrow 0} x\sin{\left( \frac{1}{x}\right )} =0 $$

Bu, tüm sınırlar için geçerli mi, öyle ki

$$\lim_{x\rightarrow a}\left | f(x) \right |=\left | \lim_{x\rightarrow a}f(x) \right |$$

İnternette bununla ilgili hiçbir bilgi bulamıyorum ve bu sınırı nasıl buldukları konusunda kafam karıştı.

Answer 1

Buna tanım gereği sahibiz

$$-|f(x)|\le f(x)\le|f(x)|$$

bu nedenle genel olarak sıkıştırma teoremi ile

$$\lim_{x\to x_0}|f(x)|= 0\implies \lim_{x\to x_0}f(x)= 0$$

Sürekliliğin ters anlamı için elimizde

$$\lim_{x\to x_0}f(x)= L\implies \lim_{x\to x_0}|f(x)|= \left|\lim_{x\to x_0}f(x)\right|=|L|$$

hangisi için geçerli $x_0,L\in \bar{\mathbb R}$.

Answer 2

Her zaman doğrudur $\lim_{x\to a}f(x)$ mutlak değer işlevi sürekli bir işlev olduğu için tanımlanmıştır.

Bariz bir karşı örnek: $$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1&\text{if}\ x\ge0\\ -1&\text{if}\ x\ge0\end{array}\right.$$
Sonra $\lim_{x\to0}f(x)$yok. Fakat$\lim_{x\to0}|f(x)|=1$.

Answer 3

Bu durumda özellikle ...

Dan beri $-1 \le \sin x \le 1$

$0 \le |x\sin\frac {1}{x}| \le |x|$

Bu kadar eğilimli olsaydık şunu söyleyebilirdik:

$-|x| \le x\sin \frac 1x \le |x|$

Mutlak değer ayracının doğası olduğundan, $0\le |f(x)|$ Sıkma $|f(x)|$ aşağıda ve sıfıra yaklaşan bazı işlevler, $|f(x)| \le g(x)$ ve $\lim_{x\to a} g(x) = 0$ kanıtlamak için yeterlidir $\lim_{x\to a} f(x) = 0$

Daha genel olarak, işlevleriniz süreklilik arz ediyorsa, işlevlerin bileşimindeki sınırları değiştirebilirsiniz.

$\lim_\limits{x\to a} f(g(x)) = f\left(\lim_\limits{x\to a} g(a) \right)$

Eğer $f$ sürekli $a$ ve $\lim_\limits{x\to a} g(a)$ var.