Sınırlı İntegralin Türevi

Question

Şu problemim var:

İzin Vermek $f(x) = \int_{3}^{x}\sqrt{1+t^3}\ dt$. Bul$(f^{-1})'(0)$.

Biliyorum eğer $g' = f^{-1}(x)$ o $g'(f(x))f'(x) = 1$. Açıkçası ne zaman$x$ dır-dir $3$, $f(x)$ dır-dir $0$. Ben de bunu çözdüm:

$\displaystyle\ g’(f(3))f’(3)=1→ g'(0)=\frac{1}{f'(3)}→(f^{-1})'(0)=\frac{1}{\frac{d}{dt}[\int\sqrt{1+3^{3}}dt]}=\frac{1}{\sqrt{1+27}}$ $$=\frac{1}{\sqrt{28}}.$$

Sorum şu: beri $f(x)$ başlangıçta bir integral olarak değerlendirildi $3$ -e $x$, yapmamalı $x$ olmak $3$denklemin karşısında, türevini alma girişimini işe yaramaz hale getiriyor mu? Bu, bölemeyeceğiniz için çözümün "tanımlanmamış" olmasına neden olur mu?$(1)$sıfır mı? Veya türev etkili bir şekilde sınırları geçersiz kılıyor mu?

Answer 1

By Hesabın temel teoremi , sahip$$f'(x)=\sqrt{1+x^3}.$$

Alternatif olarak şunu hatırlayın $x=f(f^{-1}(x))$denklemin her iki tarafını da farklılaştırarak ve sahip olduğumuz zincir kuralını kullanarak $$1=f'(f^{-1}(x))(f^{-1}(x))'$$

yani $$(f^{-1}(x))'=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{\sqrt{1+(f^{-1}(x))^3}}$$

o zamandan beri $f(3)=0$ sahibiz $f^{-1}(0)=3$ (bahsettiğiniz gibi) ve dolayısıyla

$$(f^{-1}(0))'=\frac{1}{\sqrt{1+(f^{-1}(0))^3}}=\frac{1}{\sqrt{1+27}}=\frac{1}{\sqrt{28}}.$$

Answer 2

Buradaki tüm cevabım, varsaydığın gerçeğine dayanacak. $x \geq 3$. Eğer yanılıyorsam, şüpheniz entegrasyondaki sınırların anlamı ile ilgili olmalıdır.

Türevlerin temel ilkesini hatırlamanızı istiyorum.

İlk farklılaşma ilkesi.

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-(x)}$$ Burada türev değerini elde ederiz. $h$ hem olumlu hem de olumsuz mahallede $0$.
Böylece sonsuz küçük değişiklik oluyor$f(x)$ mahallesinde $x$ üzerinde sonsuz küçük değişiklik $x$.

Ancak mahallelerden biri, yakınındaki alanda yoksa $x$ bunun yerine sadece tek bir yöndeyiz.

Örneğin $\ln(x), x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x}$ vb...

Sanırım resmi aldın. Şimdi bu türevin anlamını sorguluyorsunuz. İzin verilen tek yönde giderken eğrinin / fonksiyonun eğiminin (değişim oranı) ne olacağı zamandır.

Benzer şekilde, burada söz konusu fonksiyon böyle bir özelliğe sahiptir.

Bu tür türevler için ilk ilkeye göre daha kesin çözüm şu şekilde verilebilir: $$f(x)=\int_{3}^{x}{\sqrt{1+t^3}\ dt}$$ Bu özel fonksiyon için türevin anlamı $x=3$ olmalı: $$f'(3)=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$$

Yukarıdaki denklem diyor ki $x$ sadece olumlu mahallede değişecek $3$.