Sınırsız çözümlerle 2. derece ODE

Question

Bulmalıyım (mümkünse) $f$ öyle ki $$y''(t)+y(t)=f(t)$$ yalnızca sınırlandırılmamış çözümlere sahiptir $\Bbb R$.

Sınırsız olmaları gerekiyorsa hiçbirinin sabit olamayacağını ve başka ne yapacağımı bilmediğimi not ettim. Herhangi bir ipucu?

Answer 1

Denklemlerinizin homojen çözümleri formda olduğu için $t\mapsto \alpha\cos(t)+\beta\sin(t)$, ile $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ve dolayısıyla sınırlandırıldığında, bir $f$Öyle ki denkleminizin belirli bir çözümü sınırsızdır. Al$f(t)=e^t$, bu da belirli bir çözüme götürür $y(t)=\frac{1}{2}e^t$ve sonuçlandırabilirsiniz.