Sonlu / Sonsuz gruplar

Question

Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur / doğrudur?

a) Her özdeş olmayan öğenin sıraya sahip olduğu sonsuz sayıda sonlu grup vardır. $2$.

b) Her özdeş olmayan öğenin düzene sahip olduğu sonsuz bir grup vardır. $2$.

c) Düzenin unsurlarının olduğu sonsuz bir grup var $n$ hepsi için $n\in \Bbb N$.

d) Her özdeş olmayan öğenin sonlu sıraya sahip olduğu sonsuz sayıda sonsuz grup vardır.

Benim girişimim: Seçenek 2, böyle bir grubun bir örneğine sahip olduğum için doğru görünüyor (Simetrik farkın ikili işlemi altındaki Doğal sayıların Güç kümesi, böyle bir örnektir), ancak diğer seçenekler hakkında hiçbir sonuca varamıyorum.

1. seçenek hakkında, akılda tutulduğunda doğru gibi görünüyor $\Bbb Z_2\times \Bbb Z_2\times\cdots$ama yine de kafam karıştı. Son iki seçenek için, burada uygulayabileceğim kesin bir fikrim yok. Lütfen rehberlik edin.

Answer 1

(a) $n\geq 1$, $\prod_{i=1}^n\Bbb{Z}_2$ her önemsiz olmayan elemanın sıraya sahip olduğu sonlu bir gruptur $2$. Yani bu tür sonsuz sayıda grup var.

(b) $\prod_{i=1}^{\infty}\Bbb{Z}_2$ istenen gruptur.

(c) Örneği düşünebilirsiniz $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$. Sonra her biri için$n\in \Bbb{N}$, $\frac{1}{n}+\Bbb{Z}$ düzen unsurudur $n$ içinde $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$.

(d) $n\geq 2$, $\prod_{i=1}^{\infty}\Bbb{Z}_n$her önemsiz olmayan elemanı sonlu mertebeye sahip olan sonsuz bir gruptur. Yani bu tür sonsuz sayıda grup var.

Answer 2

Kavramsallaştırmak sizin için daha kolaysa, grup bir bütün olarak sonsuz olsa bile, her bir öğeyi sonlu kabul edebilirsiniz.

Örneğin, (2) için, her bir unsuru alabiliriz $G$ içeren sonlu bir dizi olmak $1$ ve $-1$ ve bitiyor $-1$(özdeşlik boş dizidir). Bulmak$ab$değerlerini çarpıyoruz $a$ ve $b$ çiftler halinde, ardından diziyi en sondan sonlandırın $-1$. Farklı uzunluklarda iseler, ekleriz$1$ onları aynı uzunlukta yapmak için yeterince kısa olana, sonra çarpın. $G$ sonsuzdur, çünkü her bir elemanın sonlu bir uzunluğu olmasına rağmen, bu sonlu uzunlukların sonsuz sayıda vardır.

Benzer bir strateji (3) ve (4) için işe yarar. (3) için, sonlu dizileri alıyoruz.$n$değerin bir öğesidir $\mathbb Z_n$sıra uzunluk 1 değilse, son değer $1$. (4) için, basitçe (3) üzerindeki varyasyonları alıyoruz. Örneğin diziye şu adresten başlayabiliriz:$\mathbb Z_k$. Veya al$k$ (3) 'ün kopyaları vb.