Sorun yaşamak $I(\alpha) = \int_0^{\infty} \frac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$

Question

Nihayetinde çözmeye çalışıyorum $$I(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$$

integral altında türev kullanarak. Bunun en kolay kalıntılar kullanılarak yapıldığının farkındayım, ancak bu problemi, ileri matematik 2 / diferansiyel denklem öğrencilerimi gerçek analiz yapmadan önce bazı ilginç tekniklerle tanıştırmak niyetindeyim.

İntegral altında ilk kez farklılaşmak,

$$I'(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{-x \sin (\alpha x)}{x^2 + 1} dx = - \dfrac{\pi}{2} + \int_0^{\infty} \dfrac{\sin (\alpha x)}{x(x^2 + 1)}dx$$

Dirichlet integralini kullanarak ve tekrar

$$I''(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} = I(\alpha)$$

Bu ikinci dereceden ODE'yi çözmek için iki başlangıç ​​koşuluna ihtiyacımız var. İçin integral$I'(\alpha)$ yanlış sonuca yol açar $I'(0) = 0$ ancak yeniden yazılan sürüm, doğru sonuca götürür $I'(0) = -\dfrac{\pi}{2}$. Bunu gerekçelendirmekte güçlük çekiyorum.

Herhangi bir yardım veya rehberlik takdir edilmektedir. Ayrıca neden daha basit tartışmalara razı olacağım$I'(0) \neq 0$.

Answer 1

Bunu varsayıyorsun $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx= \frac{\pi}{2} $$ ama eğer $\alpha=0$, sonra $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx=0 $$ Yani eşitlik $$ \int_{0}^{\infty}\frac{−x\sin(αx)}{x^2+1}dx=-\frac{π}{2}+\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(αx)}{x(x^2+1)}dx $$ ancak doğru $\alpha>0$.