Sürekli bir işlevi test edin

Question

İzin Vermek $f$ tanımlanmış bir işlev olmak $[0, 6]$, sürekli $[0, 6]$ ve üçüncü bir türevden sağlanır. $]0, 6[.$Aşağıdaki iddialardan hangisi yanlıştır ?

$$\fbox{A}\quad f \text{ has no asymptotes; }$$ $$\fbox{B}\quad f \text{ may have no critical points; }$$ $$\fbox{C}\quad f \text{ has a relative maximum or has a minimum relative; }$$ $$\fbox{D}\quad f'' \text{ is continuous in } ]0; 6[;$$ $$\fbox{E}\quad \text{If } f'(5) = f''(5) = 0 \text{ and } f'''(5) = 7, \text{then } f \text{ has an inflection point with a horizontal tangent at } x = 5$$

Aşağıda İtalyanca dilinde orijinal soru var. Yukarıda çeviri var.

---

Doğru cevabı bulma çabam. $\fbox{A}$ gerçek varlık $f$ sürekli $[0,6]$. $\fbox{B}$ Weierstrass teoremi için doğrudur: $[0,6]$kapalı küme. Polinomu düşünürsem$\deg(p(x))=6$ ve $\fbox{C}$benim için bu doğru. İçin$\fbox{D}$ Düşündüm ki eğer $f$ ve üçüncü bir türevden sağlanır. $]0,6[$neredeyse $f''$ sürekli $]0,6[$. Derdim$\fbox{E}$olduğu yanlış , ama bunu haklı olamaz.

Mantığımın doğru olup olmadığını veya tutarsızlıklar olup olmadığını soruyorum.

Answer 1

Benim için C yanlıştır, eğer göreceli bir uç (veya yerel uç) olarak, bir noktanın iç kısmındaki bir mahalledeki bir uç$[0,6]$. Nitekim, burada ne yerel bir maksimum ne de yerel bir minimuma sahip olmayan tüm hipotezleri karşılayan bir karşı örnek var.$[0,6]$maksimum ve minimum olmasına rağmen: $$f(x)=\frac 76(x-5)^3.$$

Öte yandan, E doğrudur çünkü eğer $f'''(5)=7$küçük bir mahallede olumlu $5$, say $I=(5-ε, 5+ε)$ (derivatives satisfy the intermediate value property), so that $f''$ is increasing on this interval. Therefore , if $f''(5)=0$, we have $f''(x)<0$ on $(5-ε,5)$ and $f''(x)>0$ on $(5, 5+ε)$, so that $f'$ has a local minimum on $I$, which corresponds to the definition of an inflection point.