tamamen normal uzay

Question

Eğer $X$ Hausdorff topolojik uzayıdır, diyoruz ki $X$ her kapalı set için $A$sürekli bir işlev vardır $f_A:X\rightarrow[0,1]$ öyle ki $f_A^{-1}(0)=A$.

Tamamen normal alanların normal olduğunu kanıtlayın.

Çabam: Varsayalım $A$ ve $B$iki ayrık kapalı settir. Tanımlamak$g=\frac{f_A}{f_A+f_B}$. $g(x)=0$ ancak ve ancak $x\in A$, ve $g(x)=1$ ancak ve ancak $x\in B$.

Kanıtlayabildiğim sürece $g:X\rightarrow [0,1]$sürekli, ben bittim. Ama sürekli olduğunu nasıl göstereceğimi bilmiyorum.

Answer 1

Başka bir yol haritanızı görmek olabilir $g$ aşağıdaki kompozisyon olarak

$g=G\circ (f_A,f_B)$ nerede

$(f_A,f_B): X\to [0,1]\times [0,1]$

ve

$G: E\subseteq [0,1]\times [0,1]\to [0,1]$

nerede $E=\{(x,y): x\neq 0 \textit{ or } y\neq 0\}$

Ve harita $G(x,y):= \frac{x}{x+y}$

bu, kendi alanında devam etmektedir. Bu harita, Kavi Rama Murthy ile aynı gerekçeyle devam etmektedir.

Answer 2

$f_A(x)+f_B(x) \geq 0$ ve $f_A(x)+f_B(x) = 0$ ancak ve ancak $f_A(x)=f_B(x)=0$ ancak ve ancak $x \in A$ ve $x\in B$ki bu imkansız. Bu nedenle$g$paydanın hiç yok olmadığı iki sürekli fonksiyonun oranıdır. Bu şu anlama gelir$g$ süreklidir.