Tekil matrislerin logaritması

Question

Aşağıdaki miktarı hesaplamak istedim:

$X=Tr[\rho_1 \log[\rho_2]]$,

gibi göreceli entropi . Buraya,$\rho_1, \rho_2$ ortogonal olmayan desteğe sahip pozitif yarı kesin matrislerdir (böylece şey farklılaşmaz - gibi terimler $0 \log[0]$ standart varsayım olan sıfıra alınmalıdır) ve $Tr$ izdir.

Benzer bir SE sorusu var , verilen fonksiyon

MatrixLogSafe[x_] := MatrixFunction[Piecewise[{{Log[#1], #1 > 0}}] &, x]

matris logaritması ile ilgilenmesi gereken, ancak garip davranır.

Eski için varsayıyorum ki $\rho_1 =\rho_2 =\{\{0.33,0,0\},\{0,0,0\},\{0,0,0.66\}\}$. Miktar$X$ o zaman olmalı

$X=0.33 \log[0.33] + 0.66 \log[0.66]= -0.640099$.

Bununla birlikte, tanımda MatriLogSafe kullanmak farklı çıktılar verir:

In[402]:= Tr[{{0.33, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0.66}}.MatrixLogSafe[{{0.33, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0.66}}]]

Out[402]= -0.731717

Sorun şu ki, MatrixLogSafe bazen "özvektörleri değiştirir",

In[403]:= MatrixLogSafe[{{0.33, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0.66}}]

Out[403]= {{0., 0., 0.}, {0., -0.415515, 0.}, {0., 0., -1.10866}}

(yani $\log[0.33]= -1.10866$ ve $\log[0.66]=-0.415515$, ancak çıktı {{-1.10866, 0, 0.}, {0., 0., 0.}, {0., 0., - 0.415515}} olmalıdır).

(Bir şekilde problemin sayısal değerler kullanmam olduğunu düşünüyorum, ancak fonksiyonun hem sayısal hem de "tam" (?) Sayılar için çalışmasını istiyorum)

Nasıl düzeltilebilir?

---

Carl Woll'un verdiği cevabı düşündüm, ancak yine de bir şeyler çalışmıyor. Özellikle, iki matrisi düşünün,$\rho_1$:

{{1/4, 1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 1/
  4}, {1/4 E^((I \[Pi])/10), 1/4, 1/4, 
  1/4 E^((I \[Pi])/10)}, {1/4 E^((I \[Pi])/10), 1/4, 1/4, 
  1/4 E^((I \[Pi])/10)}, {1/4, 1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 
  1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 1/4}}

ve $\rho_2$:

{{1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E]), 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/(4 Sqrt[
    E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2}, {1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E]), 
  1/(4 Sqrt[
    E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2, 
  1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))}, {1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/(4 Sqrt[
    E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2, 1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E]), 
  1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))}, {1/(
   4 Sqrt[E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2, 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E])}}

çirkin olabilirler ama ikisi de Hermitçi ve pozitif-yarı kesin.

Ne kadar karmaşık olsam da $X$ ($X=densityTrace[\rho_1,\rho_2]=-0.0019613 + 0.393667 I$), olamaz!

Ancak, önce sayısal matrisleri hesaplarsam gerçek çıktı elde ederim $densityTrace[N[\rho_1],N[\rho_2]]=-0.0432473$ (?!)

Yoğunluk İzinin tanımını biraz değiştirdim

densityTrace[a_, b_] := Module[{λ, S, d},
{λ, S} = Eigensystem[b];
S = Transpose[S];
d = Diagonal[Inverse[S]. a. S];
Total @ MapThread[If[Chop[#1]==0,0,Chop[#1] Log[Chop[#2]]]&, {d, λ}]

]

(Chop ekleyerek), bazı çok küçük hayali "israftan" kurtulmak için, bu iyi bir fikir mi?

Answer 1

Belki Eigensystemtekil matrisinizi dönüştürmek için kullanabilirsiniz$\rho_2$ içine $S.d.S^{-1}$ve sonra döngüsel özelliğini kullanın Tr. Yani:

$$ \begin{align} \text{Tr}{\left(\rho_1 . \log(\rho_2) \right)}&= \text{Tr}{\left(\rho_1 . \log(S . d . S^{-1})\right)} \\ &= \text{Tr}{\left(\rho_1 . S . \log(d) . S^{-1} \right)}\\ &= \text{Tr}{\left(S^{-1} . \rho_1 . S . \log(d)\right)}\\ &= \text{Diagonal}{\left( S^{-1} . \rho_1 . S\right) . \log (d)} \end{align} $$

Bu fikri uygulayan bazı kodlar:

densityTrace[a_, b_] := Module[{λ, S, d},
    {λ, S} = Eigensystem[b];
    S = Transpose[S];
    d = Diagonal[Inverse[S]. a. S];
    Total @ MapThread[If[#1==0,0,#1 Log[#2]]&, {d, λ}]
]

Örnek matrisleriniz için:

m1 = m2 = DiagonalMatrix[{.33, 0, .66}];
densityTrace[m1, m2]

-0.640099

Answer 2

Tekilliği daha önce tespit etmek muhtemelen daha kolaydır:

MatrixLogSafe[x_?SquareMatrixQ] /; Det[x] > 0 := MatrixLog[x];
MatrixLogSafe[x_?SquareMatrixQ] := ConstantArray[0, Dimensions[x]];

Tam olarak ihtiyacınız olan durum konusunda yanılıyor olabilirim. Her halükarda, MatrixFunction[Piecewise[...]]sana pek iyi geleceğini sanmıyorum. # > 0Durumun içinde ne yapması gerektiğinden bile emin değilim MatrixFunction.