Terminoloji: Üst limit ve alt limit.

Question

İzin Vermek $(x_n)$gerçek sayılar dizisi olabilir. Şunları tanımlar:

$\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} x_n=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} (\sup_{m≥n} x_m)=\inf_{n≥1}(\sup_{m≥n}x_m)$

Tanımın gösterimini nasıl anlamalıyım? Özellikle$m≥n$ ve $n≥1$ şartlar.

Answer 1

Gösterim $\sup_{m\geq n} x_m$ yazmanın kısa bir yolu $\sup\{x_m: m\geq n\}=\sup\{x_n,x_{n+1},x_{n+2},...\}$, dizinin üstünlüğü $(x_m)$ -den başlayarak $n$inci öğe.

Benzer şekilde, izin verirsek $y_n=\sup_{m\geq n} x_m$ her biri için $n\in\mathbb{N}$, sonra $\inf_{n\geq 1} y_n$ sadece $\inf\{y_n: n\in\mathbb{N}\}$.

Answer 2

$\inf_{\text{condition}}(\text{quantity})$ (ve için benzer $\sup$) olarak anlaşılması gerekiyor $\inf\{\text{quanity}\mid\text{condition}\}$, yani koşulu karşılayan nicelikler kümesinin alt sınırı olarak (ve supremum için benzer).

Böylece, $\sup_{m\ge n}x_m$ aslında $\sup\{x_m\mid m\ge n\}=\sup\{x_n,x_{n+1},x_{n+2},\ldots\}$. Benzer şekilde:

$$\begin{array}{rcl}\inf_{n\ge 1}\sup_{m\ge n}x_m&=&\inf\{\sup\{x_m\mid m\ge n\}\mid n\ge 1\}\\&=&\inf\{\sup\{x_1,x_2,x_3,x_4\ldots\},\sup\{x_2,x_3,x_4,\ldots\},\sup\{x_3,x_4,\ldots\},\ldots\}\end{array}$$

Bir dizi küçüldükçe Not 's sup alır küçük ve infimum alır büyük .

Answer 3

Sınırda dizinin bir üst sınırı vardır.

Sıra, işleri "kısa vadede" veya ne zaman yapabilir? $n$göz ardı edeceğimiz "küçük". Ama sonunda$n$ yeterince büyük olacak, bu artan $n$ daha büyük değerler için dizinin kuyruğunun üstünlüğü üzerinde herhangi bir etkiye sahip olmayacaktır. $n.$

$\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} x_n=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} (\sup_{m≥n} x_m)$

Ne zaman $n$ büyüktür ve alt diziye bakarız $m>n$ bu alt dizinin bir üst sınırı vardır ve bu, dizinin sınırlamasıdır.

$\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} x_n = \inf_{n≥1}(\sup_{m≥n}x_m)$

Bu, tüm dizinin üst sınırına bakmayı söylüyor. Sağındaki dizinin üstünlüğü$n$ aşağıdakileri içeren dizinin üstünlüğünden küçük veya ona eşittir $n.$ Ne zaman $n$ yeterince büyük olursa, dizinin en küçük değerini sağ taraftaki $n.$ Ve bu aynı zamanda dizinin en önemli noktasıdır.

Sıra, sınırsız sayıda limsup'a keyfi olarak yakın olacaktır.