Toplam kanıtın sinüsü

Question

Formülü kanıtlıyorum $$ \sin{ \left(x+y \right)} =\sin{x} \cos{y}+\cos{x} \sin{y}$$Euler formülünü kullanarak. Sinüsün türevini kanıtlarken bu toplam formül gereklidir.

Euler'in formülünün tüm kanıtları sinüs ve kosinüs türevlerini bilmeyi gerektirdiğinden, sadece o zaman dairesel bir argüman yapıp yapamayacağımı merak ediyorum.

Answer 1

Ahlfors, karmaşık analiz kitabında tanımlar $e^z$ denklemi karşılamak için $f'(z)=f(z)$ hepsi için $z$ karmaşık düzlemde ve $f(0)=1$. Bu tanımdan, güç serisi genişlemesini türetir.$e^z$ve her yerde birleştiğini gösterin. Ayrıca gösterir$e^{a+b}=e^ae^b$türevler için Leibniz kuralı kullanma. Sonra tanımlar$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ ve $\cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$. Bu Eulers formülünden türevi olmadan türetilebilir$\sin$.