USAMO sorun ipucu.

Question

Her n pozitif tamsayı için 5'e bölünebilen n basamaklı bir sayı olduğunu kanıtlayın$^n$tüm rakamları tuhaf.
USAMO 2003.

İlk defa böyle bir problem görüyorum, bu yüzden ne yapacağımdan emin değilim, indüksiyon, inşa, küçük vakaları kontrol etme, çelişki denediğim şeylerden bazıları.

Her yerde kolaylıkla çözüm bulabileceğimi biliyorum ama bir çözüme bakmak istemiyorum, bu yüzden lütfen İPUÇLARI verin .

BİR ÇÖZÜM YAYINLADIM https://math.stackexchange.com/questions/3918561/usamo-problem-solution BURADA, LÜTFEN KONTROL EDİN.

Lütfen tam çözümü vermeyin , herhangi bir ipucu takdir edilecektir.

Answer 1

İpucu: lulu'nun yorumunu takiben, bir sayı oluşturduğunuzu varsayalım $N$ ile $n-1$ ile bölünebilen tek rakamlar $5^{n-1}$. Bu sayıyı şöyle yazalım$N = p\cdot5^{n-1}$. O zaman garip bir rakam bulmak istersiniz$a$ öyle ki $a\cdot10^{n-1}+ p\cdot5^{n-1} = k\cdot5^n$ bir tamsayı için $k > 0$. Bu doğrudur$5 | (a\cdot2^{n-1}+p)$. yazı$a = 2m+1$her zaman bulabileceğimizi kanıtlayabilir misin $m$? Ayrıca$m$ mod $5$, ve dolayısıyla $a$ bir rakamdır.

Temel durum açıktır.