Üstünlük $\sin(x) + \sin(\varphi x)$

Question

İzin Vermek $\varphi$altın oran olsun. Üstünlük nedir$f(x)=\sin(x) + \sin(\varphi x)$?

Benim fikrim, fonksiyonların sırasını düşünebileceğimizdi. $f_n(x) = \sin(x) + \sin(\frac{F_{n+1}}{F_n} x)$ Fibonacci sayıları için $F_n$yakınsayan $f(x)$. Sekans$\{x_n\}_{n \geq 1}=F_n \pi + a_n$ tatmin eder $f_n(x_n) = \sin(a_n) + \sin(F_n a_n)$, böylece doğru olanı seçersek $a_n$, sonra $f_n(x_n) =2$ $\forall n$; problemi yerine tamsayı ile değiştiren$\varphi$ama buradan nereye gideceğimi bilmiyorum.

Answer 1

Açıkça maksimum, yukarıda şununla sınırlandırılmıştır: $2$her biri gibi $\sin$ maksimum var $1$.

İlk işlev için maksimum değeri ne zaman alırsınız? $\sin x = 1$ veya $x = 2 \pi k_1 + \pi/2$ bir tam sayı için $k_1$ve aynı şekilde ne zaman $\sin (\phi x) = 1$ veya $\phi x = 2 \pi k_2 + \pi/2$. Biraz manipülasyon şunları verir:

$$k_1 = \frac{k_2}{\phi} - \frac{\phi - 1}{4 \phi}$$

Çünkü $\phi$ rasyonel değildir, bu denklem tam olarak çözülemez $k_1$ ve $k_2$. Ancak, seçim yaparak bunu keyfi olarak yakından tahmin edebilirsiniz.$k_2$ son derece büyük (ör. $10^{1000}$) ve çözme $k_1$. Bu şekilde yakınlaşabilirsiniz$f(x) = 2$ istediğiniz gibi.