$|x|^{3/2}$ güçlü dışbükey?

Question

$$f(x) = |x|^{3/2}, x \in \mathbb{R}$$ 2. türevi alırsanız elde edersiniz $$ f''(x) = \frac{3}{4\sqrt{|x|}}$$ Eğer şarta göre gidersen $f$ ne zaman kuvvetle dışbükey $$f''(x) \geq m \gt 0$$ Sonra $f$ kuvvetle dışbükeydir.

Ancak, şu şartı yerine getirirseniz $f$ ne zaman kuvvetle dışbükey

$$g(x)=f(x)−\frac{m}{2} ||x||^2$$ dışbükey $∀x$ ve bazı $m>0$ $$g(x) = |x|^{3/2} - \frac{m}{2} ||x||^2$$ $g$ açıkça dışbükey değil çünkü $\frac{d^2}{dx^2}\frac{m}{2}||x||^2 > \frac{d^2}{dx^2}|x|^{3/2}$ yeterince büyük için $x$.

Lütfen hatamın nerede olduğunu bana bildirin!

Teşekkürler

Answer 1

Bu doğru $f''>0$ nerede tanımlandığı ve aslında $f$ hala içeren bir aralıkta dışbükeydir $0$ buna rağmen $f''(0)$gerçekten tanımlanmadı. (Biraz gevşek bir anlamda söyleyebilirsin$f''(0)=+\infty$.)

Ancak, bahsettiğiniz ilk gereksinim aslında geçerli değil çünkü tek bir numara yok$m>0$ öyle ki $f'' \geq m$ her yerde $f''$sonsuzda sıfıra gider. Böylece$f$ güçlü dışbükey değildir, ancak yine de kesinlikle dışbükeydir.