Yapar $M = \oplus_i M_i = \sum_j M'_j$ ile $M_i, M'_j$ basitler ima eder $M_i \simeq M'_j$ bazıları için ben, j

Jan 11 2021

İzin Vermek $M$ olmak $R$-modül. İki aile olduğunu varsayıyoruz$(M_i)_i$ ve $(M'_j)_j$ basit alt modüllerin $M$ öyle ki $$ M = \bigoplus_i M_i = \sum_j M'_j. $$ Biraz var mı $i,j$ öyle ki $M_i \simeq M'_j$?

Yanıtlar

3 AtticusStonestrom Jan 11 2021 at 02:46

Notasyonel kolaylık için izin vereceğim $I$ ve $J$ için dizin kümeleri olmak $M_i$ ve $M_j'$.

Sorunuzun cevabı evet ve aslında herhangi biri için $j\in J$ bulabiliriz $i\in I$ ile $M_i\cong M_j'$. Bunu görmek için izin ver$f:M_j'\hookrightarrow M$ dahil etme haritası olun ve $f_i=\pi_i\circ f$ her biri için $i\in I$, nerede $\pi_i:M\to M_i$projeksiyon haritasıdır. Her şeye sahip olamayız$f_i$ özdeş sıfır veya başka $f$ bununla çelişen aynı şekilde sıfır $M_j'$basit. Dolayısıyla bazı var$i$ ile $f_i$sıfır olmayan. Ancak, basit modüller arasındaki sıfır olmayan herhangi bir harita bir izomorfizmdir, bu nedenle$f_i$ aslında bir izomorfizmdir $M_j'\cong M_i$, istediğiniz gibi.

Aslında benzer bir ifade için geçerlidir $I$ onun yerine $J$: her biri için $i\in I$, bulabiliriz $j$ ile $M_i\cong M_j'$. Bu (kanıtı) lemma 1'den izler burada ; gerçekten, o zamandan beri$M=\sum_{j\in J}M'_j$, ve her biri $M'_j$ basit, biraz var $J'\subseteq J$ ile $M=\bigoplus _{j\in J'}M_j'$. Şimdi, projeksiyonların kompozisyonlarını göz önünde bulundurarak yukarıdaki ile tamamen aynı argümanı uygulayabilecek bir konumdayız$\pi_j:M\to M'_j$ (hepsi için $j\in J'$) dahil olmak üzere $M_i\hookrightarrow M$.