Yörüngeleri $\mathbb{Z}$ eylem $\mathbb{S}^1$

Question

İzin Vermek $\mathbb{Z}$ Üzerinde davranır $\mathbb{S}^1$ eylem ile $\phi (n)(z)=e^{i \alpha n}z$ için tanımlanmış $\alpha\in\mathbb{R}$ ve $z\in\mathbb{S}^1$.

İlk önce bunu kolayca görüyoruz $\phi$ kararlı $\mathbb{S}^1$.

Bu hareketin yörüngeleri nelerdir? Hepsini tarif edebilir miyiz? İle ilgili mi$O(2)$ grup?

Zaten herhangi bir nokta için bazı özel durumlar yaptım $P$ içinde $\mathbb{S}^1$:

• İçin $\alpha=0$, $\phi(n)(z)=Id_{\mathbb{S}^1}$
• İçin $\beta\in\mathbb{Z}^*$ öyle ki $2\pi/\alpha=\beta$ sahibiz $\lvert\mathbb{Z}(P)\rvert=\beta$
• İçin $p/q\in\mathbb{Q}^*$ öyle ki $2\pi / \alpha=p/q$ sahibiz $\lvert\mathbb{Z}(P)\rvert=p$
• İçin düşünüyorum $2\pi / \alpha$ irrasyonel olarak yörünge olabilir $\mathbb{S}^1$ ama kanıtlayamıyorum.

Answer 1

İki durum var. Eğer$\frac{\alpha}{2\pi} = \frac{p}{q}$ rasyoneldir ve en düşük terimlerle o zaman her yörüngenin boyutu vardır $q$(dediğin gibi). Aksi takdirde, eğer$\frac{\alpha}{2\pi}$ irrasyoneldir, bu durumda her yörüngede önemsiz bir dengeleyici vardır, bu yüzden $\mathbb{Z}$. (Yörünge tümü olamaz$S^1$çünkü sayılabilir olması gerekiyor. Mantıksız durumda doğru olan şey, yörüngelerin hiçbirinin kapalı olmaması ve kapanışlarından herhangi birinin$S^1$.)