Adjunkt des Zeitentwicklungsoperators

Question

Der Zeitentwicklungsoperator $\hat U$ ist so definiert, dass $\Psi(x,t)=\hat U(t)\Psi(x,0)$. In Bezug auf den Hamiltonianer wird es ausgedrückt als$\hat{U}(t)=\exp \left(-\frac{i t}{\hbar} \hat{H}\right)$. Ich versuche das adjungierte Konjugat zu berechnen$\hat U^\dagger(t)$.

---

Mein Lösungsversuch

Es muss befriedigen $\langle \hat{U}(t) \Psi(x,0) | \Phi(x,0) \rangle=\langle \Psi(x,0) | \hat{U}^\dagger(t)\Phi(x,0) \rangle$, damit

$$\int _{-\infty}^{+\infty} \hat{U}^\star(t) \Psi^\star(x,0) \Phi(x,0) dx=\int _{-\infty}^{+\infty} \Psi^\star(x,0)\hat{U}^\dagger(t)\Phi(x,0)dx$$

ich weiß das $\hat U$ ist einheitlich, so $\hat U^\dagger(t)=\hat U^{-1}(t)=\hat U^{\star}(t)$, aber ohne diese Informationen zu verwenden, könnte der Ausdruck von $\hat U^\dagger(t)$ aus dem obigen Ausdruck abgeleitet werden?

Answer 1

Wahrscheinlich ist es sauberer, es nach Serien zu machen.

\ begin {Gleichung} \ begin {split} U ^ \ Dolch (t) & = \ left (\ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!} \ left (\ frac {-it}) {\ hbar} \ right) ^ n H ^ n \ right) ^ \ dagger \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!} \ left (\ left (\ frac { -it} {\ hbar} \ right) ^ n \ right) ^ \ dagger (H ^ n) ^ \ dagger \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!} \ links (\ frac {it} {\ hbar} \ rechts) ^ n H ^ n \\ & = \ exp (it H / \ hbar), \ end {split} \ end {Gleichung}

schon seit $H$ ist Hermitianer.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, mit der Schrödinger-Gleichung zu beginnen, den Adjunkt zu berechnen und schließlich eine Gleichung für abzuleiten und zu lösen $U^\dagger$ unter der Vorraussetzung, dass $<\Psi(t)| = <\Psi(t=0)|U^\dagger$.