Auf dem 1D Quantum Mechanics Harmonic Oscillator

Question

Ich habe S. 2.41 von Griffiths 'Einführung in die Quantenmechanik gelöst.

Nichts wirklich Neues, bis ich einen Lösungsvorschlag (von Griffiths selbst) für das Problem gelesen habe, in dem es heißt, dass ich eine Funktion schreiben kann $\Psi$ Das ist eine lineare Kombination der ersten drei Zustände $\Psi_0$, $\Psi_1$ und $\Psi_2$ wie

$$\Psi(x,t) = \sum\limits_{n=0}^2 c_n \Psi_n e^{-iwt(n+1/2)}$$

bei dem die $c_n$und $\Psi_n$sind bekannt.

Frage : Warum kann ich das vertreten?$\Psi$ Wellenfunktion im harmonischen Oszillator so?

Answer 1

Die Eigenzustände $\Psi_n$ des harmonischen Oszillators sind die Hermite-Polynome (mit einem Gaußschen Gewicht), die einen vollständigen Satz bilden, sodass Sie jeden Anfangszustand schreiben können $$\Psi(x,0) = \sum_{n=0}^\infty c_n \Psi_n(x),$$ und lösen für die $c_n$s. Sobald Sie dies getan haben, müssen Sie nur noch die Zeitabhängigkeit für jeden Eigenzustand (der Form) berücksichtigen$e^{-iE_n/\hbar t }$), die Ihnen die komplette Lösung gibt.

Die interessante Frage ist, warum wir nicht mehr als drei brauchen $\Psi_n$s tatsächlich zu schreiben $\Psi(x,0)$. Der Grund dafür ist, weil$\Psi(x,0)$ enthält ein Polynom vom Grad 2. Wie Sie sehen können, keine Potenz von $x$ größer als $x^2$existiert darin. Infolgedessen muss es als lineare Kombination aller Hermite-Polynome mit einem Grad bis zu 2 ausgedrückt werden können , d. H.$\Psi_0(x), \Psi_1(x)$, und $\Psi_2(x)$!

(Dies ist sehr ähnlich zu sagen, dass jedes Polynom Grad $m$ kann als lineare Summe aller ausgedrückt werden $x^n$, wo $n=0,\dots m $.)