Auf dem Imaginär- und Realteil der Eigenwerte einer reellen Normalmatrix.

Question

Lassen $A\in\mathbb{R}^{d\times d}$sei eine echte normale Matrix .

Wir können schreiben $A=\frac{1}{2}(A+A^T)+\frac{1}{2}(A-A^T)$.

Können wir zeigen, dass der Realteil von $A$Die Eigenwerte sind die Eigenwerte der Symmetrie $A+A^T$ und der Imaginärteil von $A$Die Eigenwerte sind die Eigenwerte der Schrägsymmetrie $A-A^T$?

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In einem anderen Beitrag wird behauptet, dass "der Realteil einer normalen Matrix$A$Eigenwerte sind $A+A^T$"Es gibt jedoch keinen Beweis und es gibt keinen Anspruch darauf, was mit dem Imaginärteil der Eigenwerte passiert. Außerdem handelt es sich um komplexe normale Matrizen. Ich hoffe, dass der reale Fall einen einfacheren Beweis hat.

Answer 1

Ein direkter Weg ist sagen $A\in \mathbb{M}_n(\mathbb{C})$ und $A$ist normal. Es gibt eine Einheit$U$ mit $U^*AU=\text{diag}(a_1+ib_1,\ldots, a_n+ib_n)$

$A=URU^*+iUGU^*$ wo $R=\text{diag}(a_1,\ldots,a_n)$ und $G=\text{diag}(b_1,\ldots,b_n)$. $A+A^*=2(URU^*)$ und der Imaginärteil $UGU^*$.

Answer 2

Dies kann als Folge des Spektralsatzes für normale Matrizen gesehen werden. Wir stellen fest, dass weil$A$ kann in der Form geschrieben werden $A = UDU^*$ wo $$ D = \pmatrix{\lambda_1 \\ & \ddots \\ && \lambda_n} $$ mit $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ Komplex, $U$ ist einheitlich und $A^*$ bezeichnet die konjugierte Transponierte von $A$, wir haben $$ \begin{align} A + A^T &= A + A^* = UDU^* + (UDU^*)^* = UDU^* + UD^*U^* \\ & = U[D + D^*]U^* = U \pmatrix{\lambda_1 + \bar \lambda_1 \\ & \ddots \\ && \lambda_n + \bar \lambda_n}U^* \\ & = 2 U \pmatrix{\operatorname{Re}[\lambda_1]\\& \ddots \\ && \operatorname{Re}[\lambda_n]}U^*. \end{align} $$ Ähnliches sehen wir beim schiefsymmetrischen Teil.