Auszahlung eines Würfelspiels

Question

Angenommen, Sie würfeln fair mit 6 Seiten und beginnen mit 0 Geld. Jedes Mal, wenn Sie 1, 2 oder 3 würfeln, verdienen Sie 1 Dollar. Wenn Sie jedoch 4 oder 5 würfeln, endet das Spiel und Sie werden bezahlt, was Sie verdient haben. Wenn Sie 6 würfeln, endet das Spiel und Sie erhalten 0.

Die erwartete Auszahlung ist $\frac{2}{3}$ - berechnet nach der Definition der Erwartung $\mathbb{E}[X]=\sum_{n=1}^{n=\infty}n\mathbb{P}(X=n)$. Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob die folgende Lösung funktioniert, und würde mich sehr freuen, wenn jemand sie überprüfen kann.

$\mathbb{P}(\text{game ends on 4,5})=2/3$ und $\mathbb{P}(\text{game ends on 6})=1/3$ durch Symmetrie. $$\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[X|\text{game ends on 4,5}]\mathbb{P}(\text{game ends on 4,5}) + \mathbb{E}[X|\text{game ends on 6}]\mathbb{P}(\text{game ends on 6})$$ $\mathbb{E}[X|\text{game ends on 6}]=0$ weil wir nichts verdienen, wenn das Spiel mit 6 endet $$\mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[X|\text{game ends on 4,5}]\cdot \mathbb{P}(\text{game ends on 4,5})$$Nun seien A und C beliebige Ereignisse. Dann$\mathbb{P}(C|A)=\frac{\mathbb{P}(C)}{\mathbb{P}(A)}\mathbb{P}(A|C)$ nach der Bayes-Formel.

$\mathbb{P}(\text{game ends on 4,5}|\text{we roll 1, 2 or 3 in next roll})=\mathbb{P}(\text{game ends on 4,5})$Da wir davon abhängig sind, 1, 2 oder 3 zu bekommen, erhalten wir keine Informationen darüber, worauf das Spiel endet. Deshalb,$$\mathbb{P}(\text{we roll 1, 2 or 3 in next roll}|\text{game ends on 4,5})=\mathbb{P}(\text{we roll 1, 2 or 3 in next roll})=1/2$$ Deshalb lassen Sie $\mathbb{E}[X|\text{game ends on 4,5}]=\mu$. $$\mu=\mathbb{P}(\text{we roll 1, 2 or 3 in next roll}|\text{game ends on 4,5})(1+\mu)+0\cdot \mathbb{P}(\text{we roll 4,5}|\text{game ends on 4,5}).$$ So bekommen wir das $\mu=1/2 \cdot (1+\mu)$ damit $\mu=1$. Schließlich,$$\mathbb{E}[X]=2/3 \cdot \mu=2/3.$$

Answer 1

Ja. Du hast Recht. Hier ist eine andere Möglichkeit, die erwartete Auszahlung zu berechnen. Lassen$X$bezeichnen den Gesamtverdienst vor Spielende. Dies ist nicht dasselbe wie die erwartete Auszahlung in dem Sinne, selbst wenn das Spiel mit einem endet$6$ oder $4, 5$ dieses Verdienen $X$ Bleibt das selbe.

$$\ E(X) = E(G) - 1 = 1 \text{ where } G \text{ denotes the rounds played} $$

$$\ E(\text{pay-off}) = \frac{2}{3}E(X) + \frac{1}{3}\times0 = \frac{2}{3}E(X) $$

Dies liegt daran, dass das Spiel möglicherweise mit a endet $4, 5 \implies P= \frac{2}{3}$ oder mit $6 \implies P = \frac{1}{3}$