Basisexponenten-Invarianten

Aug 19 2020

Eine Summe von Potenzen wird als Basis-Exponenten-Invariante bezeichnet, wenn sich ihr Wert nicht ändert, wenn jede Basis und jeder Exponent vertauscht werden. Das einfachste Beispiel ist$2^4$, was natürlich gleich ist $4^2$. Eine andere Invariante des Basisexponenten ist

$$2^{5} + 2^{7} + 2^{9} + 5^{3} + 5^{4}=5^{2} + 7^{2} + 9^{2} + 3^{5} + 4^{5}$$

Es gibt viele andere Beispiele mit $5$Summanden bekannt. (https://erich-friedman.github.io/mathmagic/0608.html.)

Wir sind an Basis-Exponenten-Invarianten interessiert, bei denen alle Basen und Exponenten mindestens ganze Zahlen sind $2$und wo keine Leistung mehr als einmal auftritt, selbst nachdem die Basen und Exponenten gewechselt wurden. Gibt es eine Summe von$2$, $3$, oder $4$ Potenzen, die eine Basisexponenteninvariante sind?

Ich interessiere mich auch für einen allgemeinen Ausdruck von Potenzen mit einer Variablen, der auch dann noch wahr ist, wenn die Basen und Exponenten vertauscht werden, was zu unendlich vielen Beispielen für eine bestimmte Länge führt. Dean Hickerson fand diesen Ausdruck mit einer Summe von$20$ Kräfte, die funktionieren:

$$ 2^{2n} + 2^{2n+8}+ 2^{2n+16} + 2^{2n+32} + 2^{2n+34} + 4^{n+1} + 4^{n+2} + 4^{n+10} + 4^{n+14} + 4^{n+18} + n^{4} + (n+4)^{4} + (n+8)^{4} + (n+16)^{4} + (n+17)^{4} + (2n+2)^{2} + (2n+4)^{2} + (2n+20)^{2} + (2n+28)^{2} + (2n+36)^{2} $$

Gibt es einen solchen Ausdruck mit weniger als $20$ Kräfte?

Antworten

3 Vepir Sep 07 2020 at 00:36

Dies ist eine teilweise Antwort :

Ich schlage eine Definition vor und stelle Vermutungen vor, die auf umfangreichen Berechnungen beruhen.

Ich möchte folgende Definition vorschlagen:

$n\in\mathbb N$ist eine invariante Summe mit Basisexponenten = stark leistungsinvariante Zahl (SPIN) , wenn es sich um eine exponentiierungsinvariante Summe eindeutiger nichtinvarianter perfekter Kräfte handelt:

$$ n=\sum_{i=1}^{k} a_{i}^{b_{i}}=\sum_{i=1}^{k} b_{i}^{a_{i}}, \quad a_{i}>1, b_{i}>1, \quad a_{i}^{b_{i}} \neq b_{i}^{a_{i}}, \quad\left(i \neq j \Longrightarrow\left\{a_{i}, b_{i}\right\} \neq\left\{a_{j}, b_{j}\right\}\right) $$

Zum Beispiel hat der kleinste SPIN $k=6$ Begriffe in der Summe und gleich:

$$\begin{align} 432 &= 3^{2}+5^{2}+2^{6}+3^{4}+5^{3}+2^{7} \\&= 2^{3}+2^{5}+6^{2}+4^{3}+3^{5}+7^{2}. \end{align}$$

Einige Zahlen $n$entsprechen mehr als nur einer Summe. Zum Beispiel:

$$ \begin{align} 1554&=3^{2}+7^{2}+6^{3}+2^{8}+4^{5} \\ &=2^{3}+2^{7}+3^{6}+8^{2}+5^{4}, \\ 1554&=3^{2}+5^{2}+2^{6}+10^{2}+2^{7}+3^{5}+2^{8}+3^{6}\\ &=2^{3}+2^{5}+6^{2}+2^{10}+7^{2}+5^{3}+8^{2}+6^{3}. \end{align} $$

$1554$ gleich eins $5$-term Summe und zu eins $8$-term Summe.

Bis zu $n\le 10^4$, es gibt $887$ SPINs (Duplikate zählen), https://pastebin.com/5ArkFif4.

Wir sind aber an Beispielen interessiert, wo $k$ - Die Anzahl der Begriffe (Summanden) ist gering.

$(k\le 5)$ Begriff SPINs

Bis zu $n\le 10^{20}$, es sind nur $14$ SPINs mit $5$ oder weniger Begriffe, und sie alle haben $5$ Begriffe:

$$\begin{array}{} 1422 &= 5^{2} + 7^{2} + 9^{2} + 3^{5} + 4^{5} &= 2^{5} + 2^{7} + 2^{9} + 5^{3} + 5^{4} \\ 1464 &= 5^{2} + 6^{2} + 7^{2} + 5^{4} + 3^{6} &= 2^{5} + 2^{6} + 2^{7} + 4^{5} + 6^{3} \\ 1554 &= 2^{3} + 8^{2} + 2^{7} + 5^{4} + 3^{6} &= 3^{2} + 2^{8} + 7^{2} + 4^{5} + 6^{3} \\ 2612 &= 5^{2} + 6^{2} + 11^{2} + 3^{5} + 3^{7} &= 2^{5} + 2^{6} + 2^{11} + 5^{3} + 7^{3} \\ 3127 &= 2^{3} + 6^{3} + 7^{3} + 2^{9} + 2^{11} &= 3^{2} + 3^{6} + 3^{7} + 9^{2} + 11^{2} \\ 4481 &= 6^{2} + 10^{2} + 11^{2} + 2^{7} + 4^{6} &= 2^{6} + 2^{10} + 2^{11} + 7^{2} + 6^{4} \\ 5644 &= 9^{2} + 10^{2} + 7^{3} + 4^{5} + 4^{6} &= 2^{9} + 2^{10} + 3^{7} + 5^{4} + 6^{4} \\ 16122 &= 2^{3} + 4^{3} + 13^{2} + 2^{8} + 5^{6} &= 3^{2} + 3^{4} + 2^{13} + 8^{2} + 6^{5} \\ 68521 &= 8^{2} + 5^{4} + 10^{3} + 6^{4} + 4^{8} &= 2^{8} + 4^{5} + 3^{10} + 4^{6} + 8^{4} \\ 77129 &= 12^{2} + 16^{2} + 6^{4} + 4^{7} + 3^{10} &= 2^{12} + 2^{16} + 4^{6} + 7^{4} + 10^{3} \\ 82583 &= 5^{2} + 3^{4} + 16^{2} + 2^{12} + 5^{7} &= 2^{5} + 4^{3} + 2^{16} + 12^{2} + 7^{5} \\ 1065585 &= 9^{2} + 12^{2} + 20^{2} + 4^{7} + 4^{10} &= 2^{9} + 2^{12} + 2^{20} + 7^{4} + 10^{4} \\ 4227140 &= 13^{2} + 7^{4} + 11^{4} + 5^{6} + 2^{22} &= 2^{13} + 4^{7} + 4^{11} + 6^{5} + 22^{2} \\ 6164560 &= 18^{2} + 7^{5} + 5^{9} + 2^{21} + 8^{7} &= 2^{18} + 5^{7} + 9^{5} + 21^{2} + 7^{8} \end{array}$$

wo der größte kleiner ist als $10^7 \ll 10^{20}$.

Vermutung: Es gibt keine SPINs mit weniger als$5$ Begriffe.

Vermutung: Es gibt genau$14$ SPINs mit genau $5$ Begriffe.

Dies ist wahrscheinlich schwer zu beweisen.

ZB ein ähnliches Problem wie $k=2$ wurde verknüpft von https://math.stackexchange.com/q/3795656/318073#comment7868924_3795656;; was noch offen ist:https://math.stackexchange.com/q/3286093/318073. Das ist,$k=2$ entspricht dem verknüpften Problem aber für $a^b-b^a$ stattdessen:

$$ a^b+c^d=b^a+d^c \iff a^b-b^a = d^c - c^d. $$

$(k\ge 6)$ Begriff SPINs

Vermutung: Für jeden festen$k\ge 6$Es gibt unendlich viele $k$-term SPINs.

Das heißt, das Bekannte $20$-term Familie:

$$ n(t) = 2^{2t} + 2^{2t+8}+ 2^{2t+16} + 2^{2t+32} + 2^{2t+34} + 4^{t+1} + 4^{t+2} + 4^{t+10} + 4^{t+14} + 4^{t+18} + t^{4} + (t+4)^{4} + (t+8)^{4} + (t+16)^{4} + (t+17)^{4} + (2t+2)^{2} + (2t+4)^{2} + (2t+20)^{2} + (2t+28)^{2} + (2t+36)^{2} $$

gibt ein $20$-term SPIN für jeden $t\gt 4$, aber ich behaupte, dass a $6$-term Familie $n(t_1,t_2,\dots)$ existiert.

Dies ist aber wahrscheinlich auch schwer zu zeigen.

Bei meinen Versuchen, eine solche Familie zu finden, fand ich eine "besondere Art" von $k=6$ Beispiele.

$(k = 6)$ Begriff SPINs, besonderer Art

Bis zu $n\le 10^{10}$, es gibt $101$ SPINs mit $6$ Begriffe; https://htmlpreview.github.io/?https://github.com/virv/SPIN/blob/master/SPINs.html.

Es ist tatsächlich möglich, sehr große Beispiele für zu finden $k=6$. Zum Beispiel,

$$ n^* = 2^5 + 11^2 + 2^{28} + 52^2 + 8192^4 + 2^{16384} = 5^2 + 2^{11} + 28^2 + 2^{52} + 4^{8192} + 16384^2 $$

hat $4933$ Dezimalstellen (ist größer als $n^*\gt 10^{4932}$).

Dies konnte durch die Suche nach einer "besonderen Art" von gefunden werden $6$-term SPINs:

$$ n^{*}=\sum_{i=1}^4a_i^{b_i} + x^4 + 2^{2x} =\sum_{i=1}^4b_i^{a_i} + 4^x + (2x)^2 $$

die sind zahlreich, weil $|(4^x-x^4) - ((2x)^2-2^{2x})|$ist "ziemlich klein" . Das ist,

als ich nach einem suchte $k=2$ Beispiel: Ich habe versucht, den "Fehler" zu minimieren:

$$|(a_1^{b_1}-b_1^{a_1})-(a_2^{b_2}-b_2^{a_2})|$$

für eine feste erste Amtszeit $i=1$ und Finden des nächsten kleineren zweiten Terms $i=2$.

In der logarithmischen Darstellung von "Fehler" s zuerst $1000$ Begriffe $(a_i^{b_i}-b_i^{a_i})$ wir finden:

Das $\{a_1,b_1\}=\{4,x\}$ und $\{a_2,b_2\}=\{2x,2\}$ habe den kleinsten "Fehler" s. Beobachten Sie also den Punktbogen ("Fehler"), der der x-Achse am nächsten liegt und den ich grün gefärbt habe.

Diese Fehler können manchmal auf reduziert werden $0$ beim Hinzufügen $4$ zusätzliche Begriffe, die a $6$-term Beispiel dieser "besonderen Art" $n^{*}$.

Bis zu $n^{*}\le 10^{20}$, es gibt $41$ dieser "besonderen Art" $6$-term SPINs:

$$\begin{align} 3^{2} + 5^{2} + 2^{7} + 5^{3} + 3^{4} + 2^{6} &=& 2^{3} + 2^{5} + 7^{2} + 3^{5} + 4^{3} + 6^{2} \\ 2^{5} + 3^{4} + 5^{3} + 9^{2} + 5^{4} + 2^{10} &=& 5^{2} + 4^{3} + 3^{5} + 2^{9} + 4^{5} + 10^{2} \\ 2^{3} + 3^{4} + 6^{2} + 6^{3} + 5^{4} + 2^{10} &=& 3^{2} + 4^{3} + 2^{6} + 3^{6} + 4^{5} + 10^{2} \\ 2^{3} + 7^{3} + 8^{3} + 5^{6} + 3^{4} + 2^{6} &=& 3^{2} + 3^{7} + 3^{8} + 6^{5} + 4^{3} + 6^{2} \\ 5^{2} + 7^{2} + 8^{2} + 11^{2} + 7^{4} + 2^{14} &=& 2^{5} + 2^{7} + 2^{8} + 2^{11} + 4^{7} + 14^{2} \\ 7^{2} + 4^{6} + 2^{14} + 9^{3} + 3^{4} + 2^{6} &=& 2^{7} + 6^{4} + 14^{2} + 3^{9} + 4^{3} + 6^{2} \\ 6^{2} + 2^{8} + 2^{9} + 6^{4} + 7^{4} + 2^{14} &=& 2^{6} + 8^{2} + 9^{2} + 4^{6} + 4^{7} + 14^{2} \\ 3^{7} + 6^{5} + 13^{2} + 4^{7} + 3^{4} + 2^{6} &=& 7^{3} + 5^{6} + 2^{13} + 7^{4} + 4^{3} + 6^{2} \\ 2^{3} + 7^{2} + 2^{8} + 12^{2} + 8^{4} + 2^{16} &=& 3^{2} + 2^{7} + 8^{2} + 2^{12} + 4^{8} + 16^{2} \\ 3^{2} + 5^{2} + 3^{5} + 12^{2} + 8^{4} + 2^{16} &=& 2^{3} + 2^{5} + 5^{3} + 2^{12} + 4^{8} + 16^{2} \\ 8^{2} + 5^{4} + 4^{6} + 8^{3} + 8^{4} + 2^{16} &=& 2^{8} + 4^{5} + 6^{4} + 3^{8} + 4^{8} + 16^{2} \\ 2^{6} + 9^{2} + 5^{7} + 8^{4} + 5^{4} + 2^{10} &=& 6^{2} + 2^{9} + 7^{5} + 4^{8} + 4^{5} + 10^{2} \\ 5^{3} + 8^{3} + 7^{5} + 2^{16} + 7^{4} + 2^{14} &=& 3^{5} + 3^{8} + 5^{7} + 16^{2} + 4^{7} + 14^{2} \\ 3^{2} + 2^{11} + 2^{13} + 14^{2} + 9^{4} + 2^{18} &=& 2^{3} + 11^{2} + 13^{2} + 2^{14} + 4^{9} + 18^{2} \\ 9^{2} + 7^{3} + 5^{7} + 16^{2} + 9^{4} + 2^{18} &=& 2^{9} + 3^{7} + 7^{5} + 2^{16} + 4^{9} + 18^{2} \\ 6^{3} + 3^{7} + 2^{13} + 9^{3} + 10^{4} + 2^{20} &=& 3^{6} + 7^{3} + 13^{2} + 3^{9} + 4^{10} + 20^{2} \\ 2^{9} + 6^{4} + 3^{10} + 16^{2} + 10^{4} + 2^{20} &=& 9^{2} + 4^{6} + 10^{3} + 2^{16} + 4^{10} + 20^{2} \\ 3^{2} + 3^{4} + 8^{2} + 7^{4} + 11^{4} + 2^{22} &=& 2^{3} + 4^{3} + 2^{8} + 4^{7} + 4^{11} + 22^{2} \\ 7^{2} + 2^{10} + 2^{12} + 9^{3} + 11^{4} + 2^{22} &=& 2^{7} + 10^{2} + 12^{2} + 3^{9} + 4^{11} + 22^{2} \\ 11^{2} + 12^{2} + 13^{2} + 7^{4} + 13^{4} + 2^{26} &=& 2^{11} + 2^{12} + 2^{13} + 4^{7} + 4^{13} + 26^{2} \\ 5^{2} + 4^{7} + 2^{14} + 10^{3} + 13^{4} + 2^{26} &=& 2^{5} + 7^{4} + 14^{2} + 3^{10} + 4^{13} + 26^{2} \\ 5^{3} + 4^{7} + 9^{3} + 15^{2} + 14^{4} + 2^{28} &=& 3^{5} + 7^{4} + 3^{9} + 2^{15} + 4^{14} + 28^{2} \\ 7^{2} + 8^{3} + 2^{17} + 7^{6} + 14^{4} + 2^{28} &=& 2^{7} + 3^{8} + 17^{2} + 6^{7} + 4^{14} + 28^{2} \\ 2^{9} + 3^{7} + 3^{8} + 10^{3} + 15^{4} + 2^{30} &=& 9^{2} + 7^{3} + 8^{3} + 3^{10} + 4^{15} + 30^{2} \\ 5^{4} + 6^{4} + 7^{4} + 15^{2} + 15^{4} + 2^{30} &=& 4^{5} + 4^{6} + 4^{7} + 2^{15} + 4^{15} + 30^{2} \\ 3^{4} + 9^{2} + 8^{3} + 10^{3} + 16^{4} + 2^{32} &=& 4^{3} + 2^{9} + 3^{8} + 3^{10} + 4^{16} + 32^{2} \\ 13^{2} + 3^{9} + 6^{7} + 9^{4} + 17^{4} + 2^{34} &=& 2^{13} + 9^{3} + 7^{6} + 4^{9} + 4^{17} + 34^{2} \\ 2^{8} + 8^{3} + 15^{2} + 16^{2} + 18^{4} + 2^{36} &=& 8^{2} + 3^{8} + 2^{15} + 2^{16} + 4^{18} + 36^{2} \\ 2^{5} + 6^{2} + 2^{11} + 17^{2} + 19^{4} + 2^{38} &=& 5^{2} + 2^{6} + 11^{2} + 2^{17} + 4^{19} + 38^{2} \\ 4^{3} + 2^{7} + 3^{7} + 17^{2} + 19^{4} + 2^{38} &=& 3^{4} + 7^{2} + 7^{3} + 2^{17} + 4^{19} + 38^{2} \\ 5^{6} + 5^{7} + 16^{2} + 7^{6} + 20^{4} + 2^{40} &=& 6^{5} + 7^{5} + 2^{16} + 6^{7} + 4^{20} + 40^{2} \\ 5^{3} + 6^{4} + 7^{4} + 11^{3} + 21^{4} + 2^{42} &=& 3^{5} + 4^{6} + 4^{7} + 3^{11} + 4^{21} + 42^{2} \\ 2^{9} + 3^{7} + 15^{2} + 8^{5} + 25^{4} + 2^{50} &=& 9^{2} + 7^{3} + 2^{15} + 5^{8} + 4^{25} + 50^{2} \\ 2^{8} + 2^{13} + 4^{8} + 19^{2} + 26^{4} + 2^{52} &=& 8^{2} + 13^{2} + 8^{4} + 2^{19} + 4^{26} + 52^{2} \\ 2^{17} + 9^{4} + 4^{24} + 48^{2} + 26^{4} + 2^{52} &=& 17^{2} + 4^{9} + 24^{4} + 2^{48} + 4^{26} + 52^{2} \\ 17^{2} + 4^{9} + 4^{26} + 52^{2} + 24^{4} + 2^{48} &=& 2^{17} + 9^{4} + 26^{4} + 2^{52} + 4^{24} + 48^{2} \\ 5^{2} + 2^{11} + 9^{4} + 8^{5} + 28^{4} + 2^{56} &=& 2^{5} + 11^{2} + 4^{9} + 5^{8} + 4^{28} + 56^{2} \\ 2^{7} + 10^{3} + 4^{10} + 13^{3} + 28^{4} + 2^{56} &=& 7^{2} + 3^{10} + 10^{4} + 3^{13} + 4^{28} + 56^{2} \\ 2^{8} + 2^{11} + 13^{2} + 10^{4} + 32^{4} + 2^{64} &=& 8^{2} + 11^{2} + 2^{13} + 4^{10} + 4^{32} + 64^{2} \\ 6^{2} + 2^{10} + 4^{6} + 20^{2} + 32^{4} + 2^{64} &=& 2^{6} + 10^{2} + 6^{4} + 2^{20} + 4^{32} + 64^{2} \\ 5^{3} + 2^{19} + 12^{3} + 10^{4} + 32^{4} + 2^{64} &=& 3^{5} + 19^{2} + 3^{12} + 4^{10} + 4^{32} + 64^{2} \\ \end{align}$$

Es scheint, dass es unendlich viele dieser "besonderen" Beispiele gibt.

Es scheint auch, dass es unendlich viele mehr gibt $6$-term SPINs (die keine "besondere Art" sind).

Aber auch dies ist wahrscheinlich schwer zu beweisen.

Wir könnten wahrscheinlich auch viele Beispiele generieren, indem wir den "zweitbesten Bogen" über dem grünen Bogen betrachten und so weiter. Darüber hinaus können wir versuchen, kleinste Fehler für größere zu beobachten$k\gt 2$und versuchen, diese auf noch mehr Beispiele und Beispiele von zu erweitern $k\gt 6$.