Bedingungsnummer einer positiven bestimmten Matrix

Question

Ich möchte beweisen, dass für eine positive bestimmte Matrix S die Bedingungsnummer lautet:

$k_2(S)= \frac{\max \lambda_i}{\min \lambda_i}$

wo $k_2$ ist die Bedingungsnummer für die Spektralnorm.

Kann mir jemand dabei helfen?

Answer 1

Die Bedingungsnummer in jeder Norm ist gegeben durch $k = \| S\| \|S^{-1}\|$. Wenn$S$ hat Eigenwerte $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$hat seine Umkehrung Eigenwerte $\frac{1}{\lambda_1}, \cdots \frac{1}{\lambda_n}$ und so, $ \|S\|_2 = \max|\lambda_i|, \quad \|S^{-1}\|_2 = \max |\frac{1}{\lambda_i}|=\min|\lambda_i|$. Dies führt zum Ergebnis:$$ k_2(S) = \|S\|_2 \|S^{-1}\|_2 = \dfrac{\displaystyle\max_{i=1,\cdots, n}|\lambda_i|}{\displaystyle \min_{i=1, \cdots, n}|\lambda_i|} $$

Answer 2

Eine positive bestimmte Matrix ist diagonalisierbar und invertierbar, was bedeutet, dass alle ihre Eigenwerte ungleich Null sind. Können Sie sehen, wie es für eine Diagonalmatrix funktioniert? (Die Norm einer Diagonalmatrix ist der Absolutwert ihres größten Eigenwerts.)