Beweis, dass eine einfache Gruppe ein Kan-Komplex ist
Ich versuche den folgenden Beweis zu verstehen , dass eine einfache Gruppe ein Kan-Komplex von Jardine ist, aber ich kann die kühnen Aussagen nicht verstehen:
Annehmen $S \subset [n]$ und $|S| \leq n$. Schreiben$\Delta^n \langle S \rangle$ für den Subkomplex von $\partial \Delta^n$ von den Gesichtern erzeugt $d_i \iota_n$ wo $\iota_n$ bezeichnet das einzigartige nicht entartete $n$-simplex in $\Delta^n$. Lassen$G$ Sei eine einfache Gruppe und schreibe $G_{\langle S \rangle} = \mathsf{sSet}(\Delta^n \langle S \rangle, G)$. Es gibt einen Homomorphismus$G_n \xrightarrow{d} G_{\langle S \rangle}$ verursacht durch $\Delta^n \langle S \rangle \hookrightarrow \Delta^n$.
Anspruch: $d$ ist surjektiv.
Beachten Sie zunächst, dass es eine gibt $j \in S$ so dass $j - 1 \notin S$ oder $j + 1 \notin S$. Also wählen Sie eine$j$ und nehmen wir an, es gibt eine einfache festgelegte Karte $\Delta^n \langle S \rangle \xrightarrow{\theta} G$ so dass $\theta_i = \theta(d_i \iota_n) = e$ zum $i \in S, i \neq j$. Dann gibt es eine$y \in G_n$ so dass $d(y) = \theta$in der Tat, wenn $j + 1 \notin S$, dann einstellen $y = s_j \theta_j$oder setzen $y = s_{j-1} \theta_j$ wenn $j - 1 \notin S$.
(Ich denke, der einzige Weg, wie dies möglich ist, ist, wenn alle Gesichter von $\theta_j$ sind $e$und ich kann mir einen höherdimensionalen Simplex und eine Auswahl von vorstellen $S$ so dass $\theta_i = e$ für alle $i \neq j$ aber dass die Gesichter von $\theta_j$ sind nicht trivial, in welchem Fall nicht $s_{j-1} \theta_j$ nicht triviale Gesichter haben?)
Nehmen wir das an $\Delta^n \langle S \rangle \xrightarrow{\sigma} G$ ist eine einfache Set-Map, und lassen $\sigma^{(j)}$ bezeichnen die Zusammensetzung $\Delta^n \langle S \setminus \lbrace j \rbrace \rangle \hookrightarrow \Delta^n \langle S \rangle \to \Delta^n$. Induktiv gibt es eine$y \in G_n$ so dass $d(y) = \sigma^{(j)}$oder so dass $d_i y = \sigma_i$ zum $i \neq j$. Lassen$y_S$ die Einschränkung von sein $y$ zu $\Delta^n \langle S \rangle$. Das Produkt$(\sigma \cdot y_S^{-1})_i = e$ zum $i \neq j$. Somit gibt es eine$\theta \in G_n$ so dass $d(\theta) = \sigma \cdot y_S^{-1}$. Dann$d(\theta \cdot y) = \sigma$. So$d$ ist surjektiv und somit hat jedes Horn einen Füllstoff, also ist es ein Kan-Komplex.
(Der Basisschritt für $|S| = 2$ist klar, aber wie machen wir den induktiven Schritt? Es würde erfordern, unsere Karte um ein Gesicht zu erweitern, aber mir ist nicht klar, wie. Jede Beratung oder Klarstellung wäre dankbar.)
Antworten
Für den ersten Teil sagt Jardine was $y$ist. Zum Beispiel, wenn$j+1 \not \in S$, dann lass $y = s_j \theta_j$. In diesem Fall,$d_j (y) = d_j s_j \theta_j = \theta_j$durch eine der einfachen Identitäten ($d_j s_j$ist die Identitätskarte). Der Fall wenn$j-1 \not \in S$ ist dasselbe.
Für den zweiten Teil gibt er den induktiven Schritt. Die zu beweisende Aussage ist, dass die Funktion$d$ ist surjektiv, und durch Induktion können Sie annehmen, dass es in der Dimension surjektiv ist $n-1$- das benutzt er, wenn er sagt: "Induktiv ...". Dann beweist er, dass es eine surjektive Dimension hat$n$, indem wir zeigen, dass keine $\sigma \in G_{\langle S \rangle}$ ist im Bild von $d$.