Beweisen Sie Existenz und Einzigartigkeit für ein Cauchy-Problem

Question

Ich brauche Hilfe, um die Existenz und Einzigartigkeit des folgenden Cauchy-Problems zu beweisen :

\ begin {Fälle} y '' + e ^ {x} y = 0 \\ y (0) = 1 \\ y '(0) = 0 \ end {Fälle}

Dies kann als System erster Ordnung neu gefasst werden, wo $f$ ist definiert als $$f(x,y)=[-e^x y , y]^T$$

Um (lokale) Existenz und Einzigartigkeit zu beweisen, muss ich das zeigen $f$ ist lokal Lipschitz wrt $y$, (es ist die RHS einer ODE)

Ich berechne:

$$\left|| f(x,y_1)-f(x,y_2) \right|| = \left|| [e^x (y_2 - y_1),y_1 - y_2]^T \right|| = (y_2 - y_1)^2 \Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr) = \left|| y_1 - y_2\right|| \Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr) $$

So für $|x| < a$ (dh in einer Nachbarschaft von $x_0=0$ ich habe $$\Bigl( 1 + e^{2x} \Bigr)\leq1+e^{2a}$$, also ist es lokal Lipschitz ( aber nicht global )

Ist alles richtig?

Answer 1

Du hast die Funktion $f(x,y)$falsch. Was Sie tun müssen, ist eine dritte Variable zu definieren, die als erste Ableitung von dient$y$. Die gewünschte Funktion ist$$f([y,y']^T,x) = [y',-e^xy]^T$$. Dies ist die Funktion, die Sie anzeigen möchten, ist Lipschitz.

Answer 2

$$\frac{d^2y}{dx^2}+e^x y=0$$ Änderung der Variablen:$\quad e^x=t\quad\implies\quad \frac{dt}{dx}=t$

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=t\frac{dy}{dt}$

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d\frac{dy}{dx}}{dt}\frac{dt}{dx}=(\frac{dy}{dt}+t\frac{d^2y}{dt^2})t=t^2\frac{d^2y}{dt^2}+t\frac{dy}{dt}$ $$t^2\frac{d^2y}{dt^2}+t\frac{dy}{dt}+ty=0$$ $$\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{1}{t}\frac{dy}{dt}+\frac{1}{t}y=0$$Dies ist eine Bessel-Gleichung, deren Lösung bekannt ist. Siehe Gleichung (6) und (7) in:https://mathworld.wolfram.com/BesselDifferentialEquation.html $$y(t)=c_1J_0\big(2\sqrt{t}\big)+c_2Y_0\big(2\sqrt{t}\big)$$ $J_0$ und $Y_0$sind die Bessel-Funktionen der ersten bzw. zweiten Art. Die allgemeine Lösung der ODE lautet:$$y(x)=c_1J_0\big(2e^{x/2}\big)+c_2Y_0\big(2e^{x/2}\big)$$ Die Koeffizienten $c_1$ und $c_2$ werden gemäß den Bedingungen bestimmt $y(0)=1$ und $y'(0)=0$ was zu der einzigartigen Lösung führt: $$y(x)=\frac{Y_1(2)J_0\big(2e^{x/2}\big)-J_1(2)Y_0\big(2e^{x/2}\big)}{Y_1(2)J_0(2)-J_1(2)Y_0(2)}$$