Cantor-Bendixson-Rang des isolierten Typs

Question

Dies ist Lemma 2.2.3 (i) in S. Büchlers Buch Essential Stability Theory . Lassen$T$eine vollständige Theorie sein. Wir definieren den Cantor-Bendixson-Rang einer Formel$\phi$ im $n$ Variablen wie folgt.

1. $CB(\phi)=-1$ wenn $\phi$ ist inkonsistent;
2. Lassen $\alpha$ eine Ordnungszahl sein und $\Psi_{\alpha}= \{\psi: CB(\psi)=\beta \mbox{ for some } \beta < \alpha \}$. $CB(\phi)=\alpha$ wenn $\{p\in S_n(\emptyset) : \phi \in p \mbox{ and } \neg \psi \in p \mbox{ for all } \psi \in \Psi_{\alpha} \}$ ist nicht leer und endlich.

Lassen $p$ vollständig isoliert sein $n$-Art. Dann wissen wir das$p$ wird durch die Formel isoliert $\phi'$von der Definition der Isolation. Meine Frage ist

Warum $CB(\phi')=0$ ?

Es scheint, dass wir zeigen müssen, dass es nur endlich viele Typen gibt $p \in S_n(\emptyset)$ welche $\phi' \in p$ und $\neg \psi \in p$ für alle $\psi \in \Psi_0$. Aber ich habe keine Ahnung, wie ich das beweisen soll. Hinweise und Vorschläge sind willkommen. Vielen Dank!

Answer 1

Lassen Sie uns dies zunächst direkt anhand der von Ihnen erwähnten Definitionen beweisen. Die Formeln in$\Psi_0$sind genau die inkonsistenten Formeln. Also für jeden Typ$q$ und alle $\psi \in \Psi_0$ wir haben $\neg \psi \in q$. Das bedeutet, dass$$ \{q \in S_n(\emptyset) : \phi' \in q \text{ and } \neg \psi \in q \text{ for all } \psi \in \Psi_0\} = \{q \in S_n(\emptyset) : \phi' \in q\} = \{p\}, $$ wo die letzte Gleichheit folgt, weil $\phi'$ isoliert $p$. Also in der Tat$CB(\phi') = 0$.

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Der Cantor-Bendixson-Rang wird häufig auch topologisch wie folgt definiert. Für Referenzen siehe z. B. Ein Kurs in Modelltheorie von Tent und Ziegler, Übung 6.2.6 oder Modelltheorie: Eine Einführung von Marker, Übung 6.6.19g (obwohl es dort einen Tippfehler gibt, der aus der folgenden Definition ersichtlich sein sollte). .

Für einen topologischen Raum $X$ wir definieren $X^{(\alpha)}$ für Ordnungszahlen $\alpha$ wie folgt:

1. $X^{(0)} = X$,
2. $X^{(\alpha+1)} = X^{(\alpha)} - \{x \in X^{(\alpha)} : x \text{ is an isolated point in } X^{(\alpha)}\}$,
3. $X^{(\lambda)} = \bigcap_{\alpha < \lambda} X^{(\alpha)}$ für Limit $\lambda$.

Wir nennen $X^{(\alpha)}$ das $\alpha$-th Cantor-Bendixson-Derivat von$X$. Für einen Punkt$x \in X$der Cantor-Bendixson-Rang $CB(x)$ ist dann das Maximum $\alpha$ so dass $x \in X^{(\alpha)}$.

Anwenden auf $X = S_n(\emptyset)$ Wir können den Cantor-Bendixson für eine Formel verstehen $\phi$ indem man es einstellt $$ CB(\phi) = \sup \{CB(p) : \phi \in p \in S_n(\emptyset)\}. $$Es wäre eine gute Übung zu zeigen, dass diese Definitionen gleichwertig sind (obwohl dies eine schwierigere Übung wäre als das, wonach Sie gefragt haben). Mit diesen Definitionen würde es auch leicht folgen$CB(\phi') = 0$ wenn $\phi'$ isoliert einen Typ.