Cauchy-Problem mit einem Parameter auf den Anfangsdaten

Question

Prüfen

\begin{cases} y' = y^{\frac{1}{3}}\\ y(0)=k \in \mathbb{R} \end{cases}

• Für welche Werte von$k$hat das Problem eine eindeutige lokale Lösung?
• Zeigen Sie das für die anderen Werte von$k$das Problem hat mehr als eine Lösung

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ich)$f(t,y)=y^{\frac{1}{3}}$ist eine kontinuierliche Funktion über$\mathbb{R}^2$, während$f_y=-\frac{2}{3 y^{2/3}}$die bei diskontinuierlich ist$0$. Daher in jeder Nachbarschaft von$(0,k)$mit$k\ne0$,$f_y$ist stetig, und daher habe ich lokale Existenz und Eindeutigkeit der Lösung.

ii) Zuerst merke ich das$f(t,y)$ist nicht Lipschitz, daher erwarte ich keine Eindeutigkeit. Tatsächlich für$k=0$,$y(t)=0$ist eine Lösung, und durch Integration habe ich auch gefunden$$y(t)=\sqrt{\Bigl( \frac{3t}{2} \Bigr)^3}$$

**Ist alles richtig? **

Answer 1

Der erste Teil ist richtig, der zweite Teil nicht. Aber du hattest eine gute Idee.

$y(t)=\sqrt{\big(\frac{3t}{2}}\big)^3=\Big(\frac{3t}{2}\Big)^\frac{3}{2}$dann$y'(t)=\frac{3}{2}\times\Big(\frac{3t}{2}\Big)^\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}=\frac{3^2}{2^2}\times y^\frac{1}{3}\neq1\times y^\frac{1}{3}$.

Überlegen Sie jetzt$y(t)=\sqrt{\big(\frac{2t}{3}}\big)^3$und überprüfe das$y'=y^\frac{1}{3}$.