Definition der Sorte in Silvermans AEC

Question

In Silvermans AEC , S. 3, definiert er eine Sorte wie folgt:

Eine affine algebraische Menge $V$ wird eine Sorte genannt, wenn $I(V)$ ist ein erstklassiges Ideal in $K’[X]$, wo $K’$ bezeichnet einen algebraischen Abschluss von $K$.

Aber Wikipedia sagt $V$ist eine Sorte, wenn und nur wenn der Koordinatenring eine integrale Domäne ist. Hier ist der Koordinatenring definiert als$K[X]/I(V)$nicht $K’[X]/I(V)$.

Ich finde das komisch. Warum definiert Silvermans AEC Vielfalt wie oben? Ich denke, wir möchten uns ändern$K'$ zu $K$, weil $K[X]/I(V)$ eine integrale Domäne zu sein, bedeutet das nicht $I(V)$ ist Prime in $K'[X]$.

Answer 1

Vielleicht interessiert Sie das Lesen Was ist eine algebraische Variante? um zu sehen, wie es eine Vielzahl von Dingen gibt, die Menschen bedeuten können, wenn sie "Vielfalt" sagen. Was hier vor sich geht, ist, dass Silverman "geometrisch Integral", eine Bedingung, die stärker als nur Integral ist, als Teil seiner Definition von Varietät über ein nicht algebraisch geschlossenes Feld nehmen möchte. Wikipedia arbeitet nur über algebraisch geschlossene Felder, wobei geometrisch integrales Integral gleichbedeutend mit Integral ist.

Ein Grund, warum Silverman dies in AEC tun möchte, geht aus dem Titel hervor: "Arithmetik"! Wenn Sie sehen, dass "Arithmetik" um die algebraische Geometrie herum hängt, bedeutet dies normalerweise, dass die Zahlentheorie auf eine kritische Weise beteiligt ist. Dies bedeutet normalerweise, Sorten oder Schemata auf einer Basis zu untersuchen, die interessante zahlentheoretische Eigenschaften aufweist, wie Zahlenfelder (endliche Erweiterungen von$\Bbb Q$) und ihre Ringe aus ganzen Zahlen oder endlichen Feldern. Da diese Felder nicht algebraisch geschlossen sind, haben wir häufig Anlass, im Zuge des Beweises eine Änderung der Basis in Erweiterungsfelder in Betracht zu ziehen. Wenn wir die Vorteile der Integrität beibehalten möchten, möchten wir diese Basisänderungen immer noch ganzheitlich sein.

Genau hier setzt der Zustand des geometrischen Integrals an: eine Vielfalt $X$ über ein Feld $k$ ist geometrisch ganzheitlich iff für jede Felderweiterung $k\subset k'$ wir haben $X_{k'}$Integral. Eines der ersten Dinge, die man darüber beweist, ist, dass wir den Zustand tatsächlich nur dann überprüfen müssen, wenn$k'=\overline{k}$, ein algebraischer Abschluss von $k$. Für affine Sorten ist dies genau die Bedingung, die Silverman aufschreibt.