Definition von Supremum
Ich bin nur verwirrt über eine Beobachtung, die ich zu Grundlagentexten in Real Analysis gemacht habe. Die Konzepte von Supremum und Infimum sind für Schüler, die mit dem Fach noch nicht vertraut sind, nicht besonders leicht zu verstehen, und es ist für sie sicherlich viel einfacher, das Maximum und Minimum eines Satzes (einschließlich der Tatsache, dass sie möglicherweise nicht existieren) und zu verstehen von Obergrenzen. Alles was man tun muss, ist auf Intervalle wie hinzuweisen$[0,2]$ und $[0,2)$ und sprechen Sie über die Nummer 2 und die Nummer 3. Warum also nicht die kleinste Obergrenze einer Menge definieren? $S$ (in einem geordneten Feld) als Minimum (es existiert) der Menge aller Obergrenzen für $S$?
Ich habe eine große Anzahl von Grundlagentexten für Real Analysis untersucht und diese einfache Definition oder das Wort "Minimum", das überhaupt erwähnt wurde, nie gefunden. Die meisten von ihnen werden es auf die viel schwierigere Weise definieren: "Es ist eine Obergrenze, und für jede Zahl, die streng kleiner ist als sie, wird es einige usw. usw. geben." Einige werden sagen: Es ist eine Obergrenze$M$ so dass wenn $x$ ist also eine Obergrenze $M\leq x$. Warum nicht noch einmal sagen: "Es ist das Minimum der Menge aller Obergrenzen"? Einige werden nur sagen "es ist die kleinste Obergrenze", aber selbst dies ist eine Änderung der Sprache, von Minimum zu Minimum, und auf jeden Fall verwenden sie "kleinste Obergrenze" nur als Namen für das Konzept und definieren es dann weiter auf verschlungene Weise.
Ich möchte dies nicht als Diskussionsthema veröffentlichen, sondern nur als echte Frage, ob mir etwas Wichtiges fehlt, das erklärt, warum es eine gute Idee ist, Supremum so zu definieren.
Antworten
Ich glaube nicht, dass es einen Unterschied gibt, ob man sagt, dass es die "kleinste Obergrenze" ist oder ob es das "Minimum der Menge aller Obergrenzen" ist.
Lassen $S$ ein Set sein und lassen $M$sei die Menge aller Obergrenzen. Dann haben wir zwei mögliche Fälle:$\exists \max S$ oder $\nexists \max S$::
$\exists \max S$::
Wenn $\exists \max S$dann bedeutet das das $\forall s \in S, s \leq \max S$Das impliziert also, dass $\max S \in M$.
Nehmen wir das jetzt an $\max S$ ist nicht das Minimum von $M$. Dies bedeutet, dass:$\exists m \in M: m < \max S$. Dann,$\forall x \in S, x \leq m$, weil $m$ist auch eine Obergrenze. Aber$\max S \in S$, so menas das $\max S \leq m$. Die definierende Eigenschaft von$m$ war: $m \in M: m < \max S$. Das ist also ein Widerspruch. Dies bedeutet, dass$\max S$ ist in der Tat das Minimum von $M$ und somit $\sup S = \min M = \max S$.
$\nexists \max S$::
Nehmen wir das jetzt an $\nexists \max S$. Lassen$M$ sei die Menge aller Obergrenzen.
Nehmen wir das an $\nexists \min M$. Dies bedeutet, dass$\nexists m \in M: \forall x \in M, m \leq x$. Dies würde bedeuten, dass wenn$a_1 \in M$, dann $\forall s \in S$:: $s \leq a_1$. Aber weil$a_1$ ist dann kein Minimum $\exists a_2 \in M: s \leq a_2 \leq a_1$. was bedeutet, dass wir uns willkürlich nähern können, wie wir wollen$s$. Dann bedeutet dies, dass wir eine Sequenz finden können$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ so dass $\lim _n a_n = s$.
Nun lass $s_1, s_2 \in S$ so dass $s_1 < s_2$. Dann können wir eine Sequenz finden$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ so dass $\lim _n a_n = s_1$. Aber weil wir uns willkürlich nähern können$s_1$, Dies bedeutet, dass $\exists k \in \Bbb N:$ wenn $n \geq k$ dann $s_1 < a_n < s_2$. Dies ist ein Widerspruch, wie$a_n \in M$ist eine Obergrenze. Dies bedeutet, dass$\exists \min M$.
Schließen Sie daraus $\sup S = \min M$ selbst wenn $\nexists \max S$.
Also für jeden Satz $S$, $\sup S = \min M$. Sie können ein ähnliches Argument verwenden, um dies zu zeigen$\inf S = \max M$