Derivat von Bessel $K$

Question

Ich interessiere mich für die erste Ableitung des Bessel $K$Funktion in Bezug auf seinen Parameter. Ich werde die folgende Notation verwenden;$K^{(1,0)}(n,z):= \frac{\partial}{\partial \nu} K_\nu(z) \bigg|_{\nu = n}$

Ich habe mir einige verschiedene Ausdrücke angesehen $K^{(1,0)}$, zum Beispiel hier: https://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselK/20/01/01/

Die Ausdrücke scheinen mir ziemlich heftig zu sein; Ich habe nicht viel Erfahrung damit, diese Art von Serien zu manipulieren.

Diese Ausdrücke sind jedoch entweder allgemein $n\in \mathbb{Z}$ oder $n \notin \mathbb{Z}$und ich interessiere mich momentan nur für $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$. ich weiß, dass$K_{\frac{1}{2}}(z)$ vereinfacht sich deutlich im Vergleich zu einem allgemeinen $K_\nu(z)$Ich habe das Gefühl, dass es Hoffnung geben kann $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$ könnte auch im Vergleich zu vereinfachen $K^{(1,0)}(n,z)$.

Weiß jemand, ob es möglich ist, einen vereinfachten Ausdruck für das Derivat zu geben? $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$ des Bessel $K$ Funktion?

Answer 1

Diese Ableitung ist explizit tabellarisch aufgeführt ( DLMF ) \ begin {Gleichung} \ left. \ Frac {\ partielle K _ {\ nu} \ left (x \ right)} {\ partielle \ nu} \ right | _ {\ nu = \ frac {1} {2}} = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}} E_ {1} \ left (2x \ right) e ^ {x} \ end {Gleichung} wobei \ begin {Gleichung} E_ { 1} \ left (z \ right) = \ int_ {z} ^ {\ infty} \ frac {e ^ {- t}} {t} \ mathrm {d} t \ end {Gleichung} ist das Exponentialintegral.