Determinante für die elementweise Ableitung einer Matrix

Question

Lassen $M$ ein $d\times d$ Matrix mit Einträgen $$M_{ij}=x^{\alpha_j+i-j},$$ mit $\alpha_j$eine nicht negative ganze Zahl. Es ist möglich, einen Ausdruck für zu schreiben$det\left(\frac{d^{k}}{dx^k}M\right)$ bezüglich $det(M)$? oder für die besonderen Fälle$\alpha_j=0,\forall j\in \lbrace 0,...,d\rbrace$ und $k=1$?

Answer 1

Wir können schreiben $$ M = \pmatrix{x^1\\ \vdots \\ x^d} \pmatrix{x^{\alpha_1 - 1} & \cdots & x^{\alpha_d - d}} = v(x)[w(x)]^T. $$ Wir können das sehen $M$ hat Rang (höchstens) $1$, was das für alle bedeutet $d > 1$, wir werden haben $\det(M) = 0$. Auf der anderen Seite finden wir das$$ M'(x) = [v(x)w^T(x)]' = v'(x) w(x)^T + v(x)w'(x)^T\\ = \pmatrix{1\\2x\\ \vdots \\ dx^{d-1}}w(x)^T + v(x) \pmatrix{(\alpha_1 - 1)x^{\alpha_1 - 2} & \cdots & (\alpha_d - d)x^{\alpha_d - d - 1}}. $$ Wir können das sehen $M'(x)$ hat Rang (höchstens) $2$, was das für alle bedeutet $d > 2$ wir werden haben $\det M'(x) = 0$.

Ebenso können wir allgemein darauf schließen $M^{(k)}(x)$ wird immer eine Null-Determinante haben $k < d-1$.

Es ist klar, dass wenn $k$ $M^{(k)}(x)$ ist nicht konstant, dann kann es nicht als Funktion der Ableitungen von geschrieben werden $M$ von Ordnung weniger als $d - 1$, da diese alle konstant sind. Wir können jedoch sehen, dass es einige Werte gibt, für die$M^{(k)}$hat keine konstante Nulldeterminante mehr. Beispielsweise,$$ M(x) = \pmatrix{1 & x\\ x^{-1} & 1} \implies M'(x) = \pmatrix{0&1\\-x^{-2} & 0}. $$ Wir sehen das $\det(M'(x)) = x^{-2}$ kann nicht als Funktion von geschrieben werden $\det(M(x)) = 0$.