Dichte eines bestimmten Sequenzraums

Question

Zum $a\in\mathbb R$, Lassen $h_a$ sei der Hilbert-Raum von Sequenzen, die durch definiert sind $$ h_a=\left\{(x_n):\sum_{n\in\mathbb Z}(1+n^2)^a|x_n|^2<\infty\right\}$$ und inneres Produkt $\langle(x_n),(y_n)\rangle_a=\sum_{n\in\mathbb Z}(1+n^2)^ax_n\overline{y_n}$.

Beweisen Sie, dass wenn $b>a$ dann $h_b$ ist dicht in $h_a$.

Versuch: Bisher habe ich das gezeigt $b>a$ dann $h_b\subset h_a$. Ich habe jedoch keine klare Vorstellung davon, wie ich das zeigen soll$h_b$ ist dicht in $h_a$. Wahrscheinlich muss ich das für jedes Element in zeigen$h_a$ Es gibt eine Sequenz in $h_b$zu ihm konvergieren; darüber hinaus stecke ich fest.

Jede Hilfe oder Anleitung zu dieser Frage wäre sehr dankbar. Vielen Dank!

Answer 1

Lassen $(x_n) \in h_a$. Lassen$y_n=x_n$ zum $|n| \leq N$ und $y_n=0$ zum $|n| >N$. Dann$(y_n) \in h_b$. Nun die Norm von$(x_n-y_n)$ im $h_a$ ist $\sqrt {\sum_{|n|>N} (1+n)^{a}|x_n|^{2}}$. Erinnern Sie sich an die Serie$\sum c_n$ von nicht negativen Zahlen ist konvergent als $\sum_{|n|>N|} c_n \to 0$ wie $ N \to \infty$. Daher gegeben$\epsilon >0$ wir können finden $N$ so dass $\|(x_n)-(y_n)\| <\epsilon$.