Die 'Vandermonde-esque'-Matrix hat eine Determinante ungleich Null.

Question

Ich möchte zeigen, dass die Matrix $$M=\begin{pmatrix} z_1^{y_1} & z_1^{y_2} & \cdots & z_1^{y_n} \\ z_2^{y_1} & z_2^{y_2} & \cdots & z_2^{y_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_n^{y_1} & z_n^{y_2} & \cdots & z_n^{y_n} \end{pmatrix},$$ wo $0<z_1<\cdots <z_n$ und $0 < y_1 < \cdots < y_n$ hat eine Determinante ungleich Null.

Dies ist der letzte "Schritt" eines längeren kombinatorischen Problems aus der Klasse, bei dem die totale Positivität dieses Matrixtyps nachgewiesen werden soll. Ich kann das für rationale Exponenten argumentieren$y_j$ist die Matrix total positiv, so dass die Erweiterung über die Kontinuität mir sagt, dass die Determinante im allgemeinen Fall zumindest nicht negativ ist.

Die 'schönen' Beweise für die Nicht-Singularität von Vandermonde-Matrizen, die ich mit den Verwendungseigenschaften von Polynomen kenne, scheinen in diesem Fall nicht verfügbar zu sein. Ich vermute, dass ein Ansatz etwas über das Wachstum von Exponentialen verwenden könnte, um zu zeigen, dass es keine nicht triviale lineare Abhängigkeit zwischen den Zeilen (oder Spalten) geben kann, aber die Analyse ist eine meiner schwächeren Stellen.

Bearbeiten: Diese Frage folgt aus einer ähnlichen Frage, die auf mo beantwortet wird: https://mathoverflow.net/questions/118225/how-to-show-a-certain-determinant-is-non-zero

Answer 1

Lassen $V$ bezeichnen den Funktionsraum der Form $f(z) = a_1z^{y_1} + \cdots + a_n z^{y_n}$. Lassen$\phi: V \to \Bbb F^n$ bezeichnen die Karte $$ \phi(f) = (f(z_1),\dots,f(z_n)). $$ Beachten Sie, dass $\phi$ ist genau dann invertierbar, wenn $\phi$ hat einen trivialen Kernel, das heißt, es gibt keine Nicht-Null-Funktionen $f \in V$ für welche $f(z_i) = 0$ für alle $i$.

Beachten Sie dies jedoch $M$ ist die Matrix von $\phi$ relativ zur Basis $\{z^{y_1},\dots,z^{y_n}\}$ und die Standardbasis von $\Bbb F^n$.

In der Tat können wir als Konsequenz die Zeichenregel von Decartes sehen$\phi$hat in der Tat einen trivialen Kernel. Die Matrix$M$ wird notwendigerweise invertierbar.