Differenzierbarkeit am Wendepunkt

Question

Wendepunkt bedeutet wörtlich, dass sich die Steigung an diesem Punkt nicht ändert. Sollten also nicht alle Wendepunkte zwangsweise differenzierbar sein? Ich verstehe den Wendepunkt nicht ganz. Es ist ein Punkt, an dem sich die Konkavität des Graphen ändert, aber das scheint zu vage. Die Steigung ist an diesem Punkt konstant, aber wie kann eine Steigung an einem 'PUNKT' konstant sein? Brauchen wir keine Punkte in der Nähe für den Hang? Was genau ist das Besondere am Wendepunkt, wenn alle differenzierbaren Punkte bereits die gleiche Ableitung für die linke und rechte Hand haben? Wenn x gegen 0 tendiert, haben nicht alle differenzierbaren Punkte auf der linken und rechten Seite die gleiche Steigung? Warum ist der Wendepunkt anders?

Hoffe du hast meine Frage!

Answer 1

Wie auch in dieser Antwort dargestellt , ist es falsch anzunehmen, dass die Bedingung$f''(x) = 0$ist das einzige Kriterium, um zu bestimmen, ob ein Punkt ein Infektionspunkt ist. Ich werde das gleiche Beispiel zitieren, um diesen Punkt zu verdeutlichen.

Betrachten Sie die Funktion: $$f(x)=\cases{ -x^2 & $x \ le 0$ \\ x^2 & $x> 0$ }$$

Wenn Sie das Diagramm der Funktion skizzieren, können Sie ganz klar feststellen, dass sich die Konkavität der obigen Funktion bei ändert $x = 0$. Die zweite Ableitung ist zu diesem Zeitpunkt jedoch nicht stetig.

Daher ist auch Ihr Argument, dass ein Wendepunkt impliziert, dass sich die Steigung "nicht ändert", völlig falsch. Es ist zwar wahr, dass, wenn die zweite Ableitung an einem Punkt stetig ist$x = a$ und die zweite Ableitung existiert dann an dem Punkt $f''(a) = 0$Wir können nicht einfach schließen, dass ein Punkt ein Wendepunkt ist, indem wir feststellen, dass die doppelte Ableitung verschwindet. Sie können auch die Diagramme der Funktionen berücksichtigen$y = x^{2n}$ zum $2 \le n$ wo die doppelte Ableitung bei verschwindet $x=0$ aber die Konkavität ändert sich nicht.