Eigenschaft der Integration

Question

Lassen $T>0$Fest. Lassen$f,g : [0,T] \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ differenzierbare Funktionen, so dass für einige $c>1$, $$f(x) \geq c, \; \forall \; x \in [0,T] .$$

ich weiß das $f\cdot g$ ist auch integrierbar.

Frage. Ist es wahr dass$$\int_{0}^T c \cdot g(x) \; dx \leq \int_{0}^T f(x) \cdot g(x) \; dx?$$

Ich dachte daran, die Integration nach Teilen anzuwenden, um dies zu beweisen, konnte aber nichts daraus schließen.

Answer 1

Das ist falsch. $f(x)=c+1$ und $g(x)=-1$ gibt ein Gegenbeispiel.

Wenn wir aber auch haben $g(x) \geq 0$ dann $f(x)g(x)-cg(x) \geq 0$ damit $\int_0^{T} [f(x)g(x)-cg(x)] \geq 0$ was gibt $\int_0^{T} f(x)g(x) \geq c \int_0^{T} f(x)dx$.