Ein kombinatorisches Problem und die Wahrscheinlichkeitsinterpretation

Question

Für eine Gaußsche Vektorvariable $w\sim N(0,I_{n\times n})$sind die Momente der quadratischen Norm $\mathbb{E} \|w\|^{2 r} = \prod_{t=0}^{r-1} (n + 2 t)$.

Basierend auf dem Satz von Isserlis ,$\mathbb{E} \|w\|^{2 r}$ kann auch als ausgewertet werden $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}(2 |p|-1)!!$$ wo $\mathcal{P}([r])$ bedeutet alle Partitionen am Set $[r]=\{1,\dots,r\}$, $\pi$ ist eine Partition, $p$ ist ein Block in einer Partition, $|\pi|$ und $|p|$ sind die Anzahl der Blöcke und die Anzahl der Elemente in einem Block.

Betrachten Sie nun eine Variante des obigen Problems. $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}\frac{1}{2}~(2 |p|-1)!!$$ Die obige Formel unterscheidet sich nur von Momenten der quadratischen Norm der Gaußschen Vektorvariablen mit einem Faktor $\frac{1}{2}$. Gibt es eine ähnliche endliche Produktlösung und Wahrscheinlichkeitsinterpretation für die obige Formel?

Answer 1

Fix $n$. Lassen$$ G(x) = \sum_{i=0}^n \frac{n!}{(n-i)!}\frac{x^i}{i!} = (1+x)^n. $$ Lassen $$ F(x) = \sum_{j\geq 1}\frac 12 (2j-1)!!\frac{x^j}{j!} = \frac{1}{2\sqrt{1-2x}}-\frac 12. $$Nach der Kompositionsformel (Satz 5.1.4 der Aufzählungskombinatorik , Band 2) ist die gewünschte Zahl$r!$ mal der Koeffizient von $x^r$ im $$ G(F(x)) = \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{\sqrt{1-2x}}\right)^n. $$ Sie können dies durch den Binomialsatz erweitern und dann jeden Term zu einer Potenzreihe erweitern, um eine Formel für Ihre Zahl als Summe mit zu erhalten $n$ Begriffe.