Eine irrationale Kurve schließen
Für jede rationale Zahl q kann eine endliche Anzahl von kongruenten Kreisbögen mit jeweils 2πq Bogenmaß zu einer kontinuierlichen (möglicherweise sich selbst schneidenden) geschlossenen Kurve zusammengesetzt werden. Es gibt viele andere Möglichkeiten, aber für Brüche der Form 1 / n kann man einfach n Kopien verwenden, um einen Kreis wiederherzustellen. Und allgemeiner für a / b können b-Kopien eine Kurve schließen, die einen Kreis mehrmals abdeckt.
Gibt es eine irrationale Zahl p, so dass endliche kongruente 2πp-Bogenbögen zu einer kontinuierlichen geschlossenen Kurve ohne Ecken zusammengesetzt werden können?
Antworten
Sie können.
Sie können rechts-rechts-links-rechts-links, links-links-rechts-links-rechts machen. Durch die Symmetrie müssen Sie zu einem Punkt auf derselben Achse zurückkehren, an dem Sie begonnen haben.
Durch Anpassen des Winkels können Sie den Endpunkt vorwärts oder rückwärts bewegen und so einstellen, dass er mit der Startposition übereinstimmt. Der Weg ist unregelmäßig genug, um wahrscheinlich irrational zu enden.
Ein Winkel, der funktioniert, ist$1.823476582$ Bogenmaß oder $0.290215312 \times2\pi$.
Ich habe zwar keinen Beweis dafür, dass es tatsächlich irrational ist, aber es sieht so aus.