Eine kombinatorische Summe

Question

• Jede Idee, die Summe zu bewerten $$ \sum_{j=m}^{k}\frac{\binom{m}{2m - j\,\,}}{\binom{k}{j}} \quad\mbox{with}\quad m \leq k < 2m - 1. $$
• Ich habe die Summe für gefunden $k=2m-1$. In der Tat wird bestätigt, dass$$ \sum_{j = m}^{2m - 1}\ \frac{\binom{m}{2m-j\,\,}} {\binom{2m - 1\,\,}{j}} = 2m\left(H_{2m} - H_{m}\right), $$ wo $H_{j}$ ist der $j$-te harmonische Zahl.

Answer 1

Hier sagt das Zeilberger-Paket von maxima ( werfen Sie einen Blick auf Petkovsek, Wilf, Zeilberger "A = B" für die blutigen Details), dass Ihre Summe nicht Gosper-summierbar ist. Das heißt, es gibt keine einfache geschlossene Form dafür.

Answer 2

Für kurze Zeit hoffte ich, das Ergebnis in hypergeometrischen Funktionen ausdrücken zu können, aber ich scheiterte.

Wenn wir lassen $k=m+n$reduziert sich das Problem auf $$S_n=\sum_{j=m}^{m+n} \frac{\Gamma (j+1)\,\,\Gamma (m+n+1-j)}{\Gamma (m+n+1)} \,\binom{m}{2 m-j} $$ was schreiben kann $$S_n=\frac{\Gamma(m+1)}{n!\ \Gamma(m+n+1)} P_{n}(m)$$ wo $P_n$ ist ein Polynom des Grades $2n$ (es scheint für keine faktorisierbar zu sein $n$).

Die allerersten sind $$\left( \begin{array}{cc} n & P_n \\ 0 & 1 \\ 1 & m^2+m+1 \\ 2 & m^4+2 m^3+m^2+4 \\ 3 & m^6+3 m^5-2 m^4-9 m^3+13 m^2+18 m+36 \\ 4 & m^8+4 m^7-10 m^6-44 m^5+53 m^4+184 m^3+100 m^2+576 \end{array} \right)$$

Ich konnte kein Muster für die Koeffizienten finden [außer dass der konstante Term ist $(n!)^2$ und dass der Koeffizient von $m^{2n}$ ist $1$ (!!)].

Das einzige, was ich beobachtet habe, ist, wenn $n$ ist gerade, der Begriff ist $m$ fehlt systematisch.

Ohne einen Beweis dafür glaube ich nicht, dass eine geschlossene Form für einen General existieren könnte $n$.